Nach Ableitung der Funktion f(x) = ln(2x) / x3 den Bruchterm kürzen

Question

ich habe die Funktion: f(x) = ln(2x) / x³

Diese soll ich nun ableiten und in möglichst einfacher Form darstellen.

f'(x) = (1/2x * 2 * x³ - ((ln(2x)) * 3x²)) / ((x³)²)

 = ((2*x³/2x) - ln(2x) * 3x² / x⁹

= (2x³ - ln(2x) * 3x²) / (x⁹ * 2x)

Die x⁹ und 2x könnte man ja schön noch kürzen, aber in Summen kürzen nur die "Dummen"? Habe den Bruch auseinander gezogen und so gekürzt.

Erhalte dann 1/x⁷ - ((ln(2x) * 3) / (x⁶ * 2x))

Die Lösung sagt mir ich erhalte:

f'(x) = 1 - 3 * ln(2x) / x⁴

Wie haben die es geschafft zu Kürzen? Wäre nett wenn mir jemand weiterhelfen könnte. :)

Answer 1

verwende die Quotientenregel.

$$f(x)=\frac{\ln(2x)}{x^3}$$

$$f'(x)=\frac{\frac{1}{2x}\cdot 2\cdot x^3-\ln(2x)\cdot 3x^2}{x^6} \\=\frac{x^2(1-3\cdot \ln(2x))}{x^6}=\frac{1-3\cdot \ln(2x)}{x^4}$$

Den Summanden $$\frac{1}{2x}\cdot 2\cdot x^3$$ kannst du vereinfachen

$$\frac{1}{2x}\cdot 2\cdot x^3 = \frac{1}{x}\cdot x^3 = x^2$$

Comments

Dankeschön für die Antwort! :)

Answer 2

f ( x ) = ln(2x) / x³
Oder umformen und die Produktregel anwenden.

f ( x ) = ln(2x) * x^-3
f ´( x ) = 2 / (2x ) * x^-3 + ln(2x) * (-3)* x^-4
f ´( x ) = x^-4 + (-3) *ln(2x) * x^-4
f ´( x ) = ( 1 -3 * ln(2x)) / * x⁴