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Ich stehe gerade ein bisschen auf dem Schlauch. 

Ich habe eine Aufgabe bekommen und soll wie in Steckbriefaufgaben eine Gleichung aufstellen. 
Aufgabe: Eine Sprungschanze mit folgenden Abmessungen soll errichtet werden: Höhe der Schanze 15m, Länge 30m. Die Tangentensteigung am Schanzentisch soll -1/4 betragen, was ca. -8,5°entspricht. 

Ich habe bis jetzt aufgestellt: 
P (0|15) f(0)=15
durch einsetzen in ax^3+bx^2+cx+d 
d=15

P(30|0) f(30)=0 
27000a+900b+30c+d=0 

Jetzt weiß ich nicht wie ich die Gleichung für die Tangentensteigung aufstelle und für die vierte Gleichung dachte ich an folgendes: 
P(0|0) d.h. bevor man losfährt f(0)=0
d=0

Kann man jemand sagen ob das bisher richtig ist und wie ich das mit der 3. Gleichung mache? Schonmal vielen Dank im Voraus!

Gefragt von

Hallo,

wo soll denn die Tangentengleichung sein? Am Sprungtisch???

Ja die Tangentengleichung soll am Schanzentisch/Sprungtisch sein, aber meiner Meinung nach kann man doch gar nicht genau sagen wo der ist oder?


Bei den anderen Gleichungen, die ich aufgestellt habe ist auch einiges falsch ist mir gerade aufgefallen. Die einfach gerade nicht beachten.

Antwort siehe unten.

1 Antwort

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Beste Antwort

Also wenn du die Querschnittsform der Sprungschanze von der Seite durch eine Polynomfunktion 3. Grades modellieren willst, kann man sich folgende Skizze überlegen:

Sprungschanze.png

Dann kann man auch daraus vier Bedingungen ablesen:

Ansatz:

$$ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\ f'(x)=3ax^2+2bx+c $$

$$ \begin{align}&(1) &f(0)&=15\Rightarrow d=15\\&(2) &f'(0)&=0\Rightarrow c=0\\&(3) &f(30)&=0\\&(4) &f'(30)&=-\frac{1}{4} \end{align} $$

Dann hat man nur noch ein LGS mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten zu lösen:

$$ \begin{align}&(3) &27000a+900b&=-15\\&(4)&2700a+60b&=-\frac{1}{4} \end{align} $$

Als Lösung hat man dann $$ a=\frac{1}{1200}\\b=-\frac{1}{24} $$, also

$$ f(x)=\frac{1}{1200}x^3-\frac{1}{24}x^2+15 $$

Tangentengleichung an der Sprungschanze würde so aussehen:

$$ t(x)=mx+n \text{  mit  } (3),(4) \text{  ergibt dann  }\\ 0=-\frac{1}{4}\cdot 30+n\Rightarrow n=\frac{15}{2}$$also

$$ t(x)=-\frac{1}{4}x+\frac{15}{2} $$

Beantwortet von 5,5 k

Das hört sich sehr logisch an, vielen Dank!

Warum du die Punkte (1) und (4) genommen hast kann ich nachvollziehen, aber könntest du vielleicht noch kurz erklären warum du f'(0)=0 und f (30)=15 genommen hast oder wie du darauf gekommen bist?

War ein blöder Tippfehler. Hab mich auch total erschrocken.

EDIT: (3) wurde korrigiert.

Und warum $$ f'(0)=0 \ ? $$ Es wurde im Informationstext nichts weiter drüber gesagt, bzw. kann daraus keine Information für eine Steigung bei x=0 entnommen werden. Der Einfachheit halber habe ich dann f'(0)=0 gewählt.

Super danke, jetzt verstehe ich auch eigentlich alles.

Eine Frage hätte ich aber noch. Wie bist du auf f'(0)=0 gekommen?

Sorry unsere Kommentare haben sich etwas überschnitten.


Vielen Dank für deine Hilfe!!!

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