Extremwerte einer Funktion mit mehreren Variablen f(x,y)=x*y2-4x+1

Question

Gegeben ist die Gleichung f(x,y)=x*y²-4x+1 und dazu soll ich die relativen Extremwerte ermitteln.

Ich muss doch die partielle Ableitungen 1. und 2. Ordnung bilden:
fx(x,y) = y²-4   fxx(x,y) = 0

fy(x,y) = 2xy      fyy(x,y) = 2x

fxy(x,y) = fyx(x,y) = 2y

Wie soll ich jetzt weiter vorgehen, ich soll doch nun fx(x,y) und fy(x,y) jeweils 0 setzen aber was muss ich als nächsten Schritt genau durchführen um auf die richtige Lösung zu kommen?

Answer 1

Für eine zweidimensionale (differenzierbare) Funktion $$f(x,y)$$ liegt an der Stelle $$(x_0,y_0)$$ eine (lokale) Extremstelle vor wenn folgende drei Gleichungen erfüllt sind:

$$f_x(x_0,y_0)=0$$$$f_y(x_0,y_0)=0$$$$f_{xx}(x_0,y_0)\cdot f_{yy}(x_0,y_0) > f_{xy}(x_0,y_0)\cdot f_{yx}(x_0,y_0)$$Nun die Aufgabe selber lösen!!Ab hier erst zur Kontrolle nachsehen!

Sehen wir uns die erste Gleichung an

$$f_x(x_0,y_0)=0$$

$$y_0^2-4=0$$

$$y_0=\pm 2$$

Sehen wir uns die zweite Gleichung an

$$f_y(x_0,y_0)=0$$

$$2x_0y_0=0$$

$$x_0y_0=0$$

Da wegen der ersten Gleichung nur mehr $$y_0=\pm 2\neq 0$$ in Frage kommt, muss folgendes gelten:

$$x_0=0$$

Wir haben also insgesamt zwei Punkte, die als Extremstelle in Frage kommen (alle möglichen Kombinationen der Lösungen der ersten beiden Gleichungen):

$$(0|-2)$$

und

$$(0|2)$$

Durch Einsetzen in die dritte Gleichung sieht man dann, ob die jeweiligen Punkte überhaupt Extremstellen sind.

Bemerkung: Falls dir die Hesse-Matrix geläufig ist, verwende sie für diese Aufgabe!

Comments

wenn ich die fxx(x0,y0)⋅fyy(x0,y0)>fxy(x0,y0)⋅fyx(x0,y0) Gleichung verwende erhalte ich
bei P1 erhalte ich 0 > 16
bei P2 erhalte ich 0 > 16

da beide Bedingungen nicht stimmen, handelt es sich bei den Punkten also nicht um einen Extremwert ... hab ich das also so richtig verstanden?

Answer 2

  An sich redhne ich diese Aufgaben sehr gerne - sie wurden mir bisher nur immer jedesmal weg geschnappt .  Du scheinst aber gar nicht zu begreifen, wie die Hessematrix geht; in deinem Fall kann man sie sogar direkt im Kopf bilden.

     f_xx  =  0   (  1a  )

     f_xy  =  2  y     (  1b  )

     f_yy  =  2  x     (  1c  )

     Schön wäre es, wenn du ===> Paulimatrizen könntest; du kannst aber auch über die Spur und die Determinante gehen.  Für  y0  =  2 hast du die Hessematrix

    H  =  4  S1        (  2  )

    mit der Paulimatrix S1 . Nun haben aber sämtliche Paulimatrizen Eigenwerte ( +/- 1 )  =  Spin up_down, sind also indefinit  ===>  Sattelpunkt .