Bestimmen der Elemente der Matrix A (2x2)

Question

Gegeben seien eine Matrix A∈R2×2 und die Vektoren

v=[5;5] und w=[−5;8] mit

Av=[−35;30] und Aw=[−17;−56].

Bestimmen Sie die Elemente der Matrix A.

Ergebnis lautet

Könntet ihr mir einmal erklären, wie ich dahin gelange?

Danke euch.

Comments

zur Veranschaulichung

Answer 1

Hallo Maxi,

stelle mal A ganz allgemein auf:

$$ A = \begin{pmatrix} a & b\\c&d \end{pmatrix} $$

jetzt multipliziere mit einem Vektor x

$$ Ax =  \begin{pmatrix} a & b\\c&d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a x_1 + b x_2 \\ c x_1 + d x_2 \end{pmatrix} $$

Für v ergibt sich:

$$ \begin{pmatrix} a 5 + b 5 \\ c 5 + d 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -35 \\ 30 \end{pmatrix}$$

und für w:

$$ \begin{pmatrix} a (-5) + b 8 \\ c (-5) + d 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -17 \\ -56 \end{pmatrix}$$

Daraus erhältst du zwei LGS (jeweils obere und untere Zeile zusammenfassen) mit denen du a,b,c,d bestimmen kannst.

Comments

Was fasse ich denn zusammen die a und b Reihen der jeweiligen Matrizen oder das komplette Paket von v/w?

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Nimm die beiden ersten Zeilen:

5a+5b=-35

-5a+8b=-17

Und die beiden letzten:

5c+5d=30

-5c+8b=-56

Das sind die beiden LGS die ich meinte.

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Oberes LGS ist gelöst, habe Probleme beim zweiten

Wenn ich 5c+5d=30 nach c umstelle

-> 5c=30-5d  geteilt duich 5

-> c= 6-d

Dies eintrage in meine Gleichung 2

-5*(6-d)+8*d=-56  ausmultiplizieren

-30+5*d+8*d=-56

13*d=26  geteilt durch 13

d=2

Ich erhalte also nicht meine Lösung

d=2 in 1 einfügen

5c+5*2=30

5c+10=30

5c=20 /5

c=4

Die richtigen Ergebnisse stehen ja oben.

Mache ich etwas falsch, falls ja was?

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Mache ich etwas falsch?

Ja, aber ist bestimmt nur ein Flüchtigkeitsfehler

-30+5*d+8*d=-56

Wenn du hier auf beiden Seiten 30 addierst erhältst du

13d= - 26 => d=-2

Nur ein Vorzeichenfehler sozusagen.