+1 Punkt
118 Aufrufe

Ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe

Sei ABCD ein Rechteck mit AB=2, AD=3. Der Punkt F liegt in der Ebene des Rechtecks und erfüllt die folgenden Bedingungen:

AF*AB=−4   ,   AF*AD=6

Aufgabe:

Zerlegen Sie AF durch AB und BC

Zerlegen Sie AD durch AF und AB

In Form von:

AF= r*AB+s*BC

AD=r*AF+ s*AB

Vektor mit Rechteck.jpg
Wie stehen die Geraden BD und AF zueinander?

Danke im Voraus!

Gefragt von

Der Hinweis vor einer Stunde, ein Geometrieprogramm zu nutzen, war ernst gemeint. Deine Grafik von oben lässt sich in 2 min erstellen:

~draw~ rechteck(0|0 2 3)#;punkt(0|3 "D");punkt(2|0 "B");punkt(2|3 "C");punkt(0|0 "A");punkt(1|2 "F");zoom(4);aus;alpha(1) ~draw~

Das Koordinatensystem kann in die Irre führen. Wer weiss denn bei einer geometrischen Skizze schon genau, wo F liegt?

AF*AB=−4  ,  AF*AD=6

Sind das Skalarprodukte von Vektoren?

Das Koordinatensystem kann in die Irre führen. Wer weiss denn bei einer geometrischen Skizze schon genau, wo F liegt?

Wohl wahr! wenn man das 'Skalarprodukt' verstanden hat, kann man \(F\) auch gleich an die richtige Stelle einzeichnen:

Untitled.png

2 Antworten

+3 Daumen
 
Beste Antwort

Hallo Marco,

Gegeben ist ein Rechteck \(ABCD\) mit \(|AB|=2\) und \(|AD|=3\) und gesucht ist ein Punkt \(F\) mit den Bedingungen $$\vec{AF} \cdot \vec{AB}=-4; \quad \vec{AF}\cdot\vec{AD}=6$$

Zerlegen Sie AF durch AB und BC und AD durch AF und AB
In Form von:
AF= r*AB+s*BC
AD=r*AF+ s*AB

das machen wir einfach mal mit der ersten Zerlegung. Und bilden gleich die Skalarprodukte $$\vec{AF} \cdot \vec{AB} = ( r\cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{BC}) \cdot \vec{AB} = r \cdot \vec{AB}^2 = -4$$ Der zweite Term entfällt, da \( \vec{BC} \perp \vec{AB}\). $$\Rightarrow r = -1$$

$$\vec{AF}\cdot\vec{AD}= ( r \cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{BC}) \cdot \vec{AD} = s \cdot \vec{AD}^2 = 6$$ Der erste Term entfällt wieder, da \(\vec{AB} \perp \vec{AD}\) und \(\vec{BC} = \vec{AD}\). $$\Rightarrow s = \frac{6}{9} = \frac23$$ Einsetzen in die Gleichung für \(\vec{AF}\) gibt: $$ \vec{AF} = r\cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{AD} = -\vec{AB} + \frac23\vec{AD}$$ kommt also das gleiche raus, wie in der graphischen Lösung, oben im Kommentar.

Wie stehen die Geraden BD und AF zueinander?

... schaffst Du jetzt allein - oder?

Gruß Werner

Beantwortet von 12 k

Ich werde es morgen versuchen, ich sag dir dann bescheid. Danke für die Antwort.

+2 Daumen

Nimm doch einfach A als Koordinatenursprung eines kartesischen

Koordinatensystems, wegen der Längen hats du dann B(2;0) und

D(0;3).

Mit  -4 = AF*AB = (x*AB+y*AD)*AB

                          =  x*AB^2 + 0

                          = x* 4

hast du x = -1  und entsprechend mit

6 = AF*AD = (x*AB+y*AD)*AD

                    = 0 + y*AD^2

                   = y*9

bekommst du y = 2/3 , also ist  F( -2 ; 2 ) .

Gerade BD:   x =  (2;0) + t*( -2 ; 3)

Gerade AF:   x =  (0;0) + s*( -1 ; 1)

Gleichsetzen gibt s= -6 und t=-2 also

schneiden sich die Geraden in S(6;-6) .

Und AF bildet mit der x-Achse einen 45°-Winkel und

BD mit der x-Achse einen von 56,31°.

Die Geraden schneiden sich also unter einem

Winkel von 11,31°.



Beantwortet von 144 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...