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Moin moin, fällt jemand von euch Matheexperten spontan ein Beispiel ein, bei dem die Varianz von X² kleiner ist als die Varianz von X? Also zeigen, dass V(X)> V(X²) eintreten kann?:))


In jedem Fall bedank ich mich schonmal!

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2 Antworten

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Beste Antwort

Hallo misterdardan,

ich bin nicht wirklich ein Experte auf dem Gebiet Sochastik, aber vielleicht hilft dir ja die folgende Überlegung.

Sei \( X \sim N(0,1) \) dann ist \( X^2 \sim \chi^2_1 \) (Chi-Quadrat-Verteilung). Wir kennen die Varianz dieser Verteilung, nämlich \( Var(X^2) = 2 \).

Jetzt nehmen wir uns mal ein normalverteiltes \( Y \sim N(0, \sigma^2 ) \), dann gilt \( Y = \sigma X \), also erhalten wir

$$ Var(Y^2) = Var(\sigma^2X^2) = \sigma^4 Var(X^2) = 2 \sigma^4 $$

außerdem ist

$$ Var(Y) = \sigma^2 $$

für \( \sigma = 0.5 \) sollte dann

$$ Var(Y^2) = 2 \cdot 0.5^4 = 0.125 < 0.25 = 0.5^2 = Var(Y) $$

gelten.

Beantwortet von 2,7 k

Wärmsten dank für deine Antwort! Ich nehm mir jetzt Zeit deine Lösung nachzuvollziehen. Die chi-quadrat-Verteilung kam nämlich dieses Semester noch nicht dran, muss es mir also erstmal nacharbeiten:/

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  Das ist doch gerade der Witz .  Die Gesamtvarianz  ²  setzt sich zusammen aus der mittleren Varianz + Quadrat des Mittelwerts.

   Sortiere alle gleichen Werte in einen Topf; angenommen du hast n Töpfe . Dann schwankt das Quadrat in jedem einzelnen Topf Null; und die gesamte Varianz ergibt sich als Streuung der Mittelwerte zwischen den Töpfen.

   ===>  ergodisch wäe, wenn der Mittelwert in jedem topf der selbe ist; sprich: die Gesamtstreuung ist die streuu g der Quadrate .

   Vielleicht intressiert es dich ja, dass ich mir als Dissertation überlegt habe, wie sich die Varianz quantenmechanisch verhält  ===> Zenon_Effekt

   ( Zenon  von Elea war der erste griechische Zen Priester. )

   Insbesondere nach der Bellschen Ungleichung . Vielleicht heuerst du doch mal an in der QM und untersuchst etwaige QM Analoga zu klassischen statistischen Tests wie Chi ³ und T Test; meines Wissens gibt's da noch nix .

Beantwortet von 5,5 k

Hmm, aus deiner Erklärung entnehme ich, dass es nicht möglich sein kann, dass die Varianz größer ist als die Varianz der quadrierten Werte?

Ich wüsste gar nicht, wie ich das in der Klausur beweisen sollte.. unser prof hat uns nie was vom Zenon-Effekt und Quantenmachanik erzählt leider

  Es ist nie zu spät. Was studierst du; Matematik? Ich meine nur; du könntest ja zur Physik wechseln . Wenn dich z.B. die teoretischen Grundlagen des QM Messprozesses intressieren; Heisenbergsche Unschärfe und so.

   Ein bis Heute nahezu unerforschtes Land, wenn es um die QM Analoga der klassischen statistischen Testverfahren geht .  Es gibt sogar schlaue Bücher über die statistische Verteilung von Eigenwerten einer statistischen Matrizenverteilung.

   Das alles setzt aber voraus, dass du dich mal entschließen könntest, in eine QM Vorlesung zu gehen .

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