Gleichung der Tangente der Kurve K = { (x, y) ∈ R^2 : x^3 − xy + y^2 = 3}

Question

hier ist die Aufgabe.

Gegeben ist die Kurve

\(K = \{ ( x , y ) \in R ^ { 2 } : x ^ { 3 } - x y + y ^ { 2 } = 3 \}\)

a) Zeigen Sie, dass \((1,2)\in K\)

b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an \(K\) im Punkt \((1,2)\).

zu a:

ich habe (1,2) einfach oben eingesetzt und es kommt 3=3 raus, also somit gezeigt dass es aus K stammt?

zu b:

Also ich mache das zum ersten mal, also könnte meine Lösung total falsch sein:

mfg

Answer 1

Hallo

 so wird es falsch.

man differenziert implizit , d/dx K

also 3x^2-y-xy'+2yy'=0 ; 3x^2-y=y'(x-2y); y'=(3x^2-y)/(x-2y)

Gruß lul

Comments

Implizit ableiten gefällt mir hier. Ich setze mal den fraglichen Punkt P(1|2)noch ein um zu testen, ob du richtig gerechnet hast.

y'=(3x^{2}-y)/(x-2y)         , P(1|2)

m_(Tangente)= (3*1^2 - 2)/(1 - 2*2) = 1/(-3) = -1/3

Nun Ansatz

t: y = -1/3 x + q , nochmals P einsetzen

2 = -1/3 * 1 + q

2¹/₃ = q

t: y = ^-1/₃ x + 2¹/₃

t: y = -1/3 x + 7/3

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Ah ok implizit ableiten... Muss ich mir mal genauer anschauen.

Vielen Dank :)

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Implizites Ableiten ist die hier die erste Wahl. Und das Ergebnis sieht auch richtig aus:

~plot~ x/2+sqrt(x^2/4 - x^3+3);x/2-sqrt(x^2/4 - x^3+3);{1|2};-(x-1)/3+2;[[-3|3|-1|4]] ~plot~

Answer 2

x^3 - xy + y^2 = 3
( 1 | 2 )

y^2 - xy = 3 - x^3
y^2 - xy + (x/2)^2 = 3 - x^3 + x^2/4
( y - x/2) ^2 =
y - x/2 = ± √ ( 3 - x^3 + x^2/4 )
y = ± √ ( 3 - x^3 + x^2/4 ) + x/2
kleiner Test
x = 1
y = ± √ ( 3 - 1^3 + 1^2/4 ) + 1/2
y = ± √ ( 9/4 ) + 1/2

y = + √ ( 9/4 ) + 1/2
y = 2

f ( x ) = √ ( 3 - x^3 + x^2 / 4 ) + x/2

t ( x ) = -1/3 * x + 7/3

Die Grafik zeigt : stimmt.

Answer 3

Deine Lösung ist nicht uninteressant, denn immerhin gilt für die gesuchte Tangente

$$T = \left\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2:\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1\\3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\3 \end{pmatrix} \right\}$$oder

$$T = \left\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2: x+3y = 7 \right\}.$$

Answer 4

 Haben wir uns nicht schon mal darüber unterhalten?  Ich predige konstant:  Implizites Differenzieren ist das Wichtigste, was ihr hier alle können müsst; Hinweis: Das geht über Produkt-und Kettenregel .

     3  x  ²  -  y  -  x  y  '  +  2  y  =  0      (  1a  )

    3  x  ²  +  y  -  x  y  '  =  0     (  1b  )

    Und jetzt machst du weiter keine Umstände; gleich den Punkt

         P0 =  (  x0  |  y0  )  =  (  1  |  2  )         (  2a  )     

           einsetzen .

        3  *  1  +  2  -  f  '  (  x0  )  =  0  ===>  f  '  (  x0  )  =  5        (  2b  )

    Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel  - solltest du längst können.   Die Gleichung der Tangente    g  (  x  ;  x0  )  an die Stelle x0

       g  (  x  ;  x0  )  =  f  (  x0  )  +  f  '  (  x0  )  (  x  -  x0  )       (  3a  )

    Probe; stimmt ja auch. Denn

      g  (  x0  ;  x0  )  =  f  (  x0  )        (  3b  )

Comments

  Mit dem impliziten Differenzieren ist das so eine Sache .  Es ist ja nur zu deinem Besten .  Du solltest dich daran gewöhnen, dieses Verfahren aus eigenem Antrieb einzusetzen auch ohne dass eine Aufgabe es ausdrücklich von dir verlangt .

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   Tja ihr habt Recht;  ich hab einen Fehler .     (  1b  )   muss richtig heißen

      3  x  ²  -  y  +  (  2  y  -  x  )  y  '  =  0      (  1b  )

    und  (  2b  ) entsprechend

      3  -  2  +  (  4  -  1  )  f  '  (  x0  )  =  0  ===>  f  '  (  x0  )  =  (  -  1/3  )