Querschnitt maximieren. Dachrinne aus 4 Zinkstreifen

Question

ich habe wieder mal ein kleines Denkproblem bei dieser Art von aufgaben!

Wie kann ich diese Aufgabe am besten lösen, leider kriege ich dafür keine Funktion aufgestellt die sinn macht!

MfG

Answer 1

Es geht also letztlich um die Frage in welchem Verhältnis stehen z und

h (die Tiefe des Rinnenteils mit dreieckigen Querschnitt.

Mit Pythagoras hast du  h² + z² = a² = 25

also  h = √(25-z²).    #

 Die Querschnittsfläche hängt außer von a=5

ab von h und z :      A(h,z) = 2z*5 + z*h

mit # gibt das    A(z) = 2z*5 + z*  √(25-z²).

also A ' (z) = 10  +   √(25-z²)  -  z² / √(25-z²).

gleich 0 setzen und mal den Nenner gibt

10√(25-z²)  + 25 - z²  - z²  = 0

10√(25-z²)  + 25 - 2z²  = 0

10√(25-z²)  = 2z² - 25           quadrieren

 100(25-z²) = 4z⁴ - 100z² + 625

    0 = 4z⁴   -  1875

    z⁴ = 1875/4    da z pos. sein muss, also

==>  z = 4. Wurzel aus 1875/4 ≈  4,65

also h = 3,35

Damit ist der Rinnenquerschnitt  2* 4,65*5 +  4,65*3,35 = 62,1

Comments

hi

vielen dank für die schnelle antwort!

was mir noch nicht klar ist woher die  A(h,z) = 2z*5 + z*h

herkommen? mit 2z*5 komme ich nicht klar?

danke

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@ mathef

kleiner Rechenfehler für h. Du hast vergessen die Wurzel zu ziehen

$$h \approx 1,830$$ Und damit hat man eine Fläche von ungefähr $$A\approx 2\cdot 4,65\cdot 5+ 4,65\cdot 1,830=55,0095$$

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Ah ja, danke. Wird der Fragesteller dann schon einbauen.

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Kein Problem :)

Answer 2

Mag sein, dass mein Beitrag hier nicht hingehört, aber diese Aufgabe ist ein gutes Beispiel, mit welchem Müll unsere Kinder überfrachtet werden. Den Satz des Pythagoras kann man ganz einfach erklären, und dann ist es auch schon gut ! Ich musste in meinem Leben diesen Satz noch nie anwenden. Und kein Dachdecker wird eine Dachrinne aus 4 gleich breiten Zinkstreifen zusammenschweissen, sondern eine fertige und halbrunde nach DIN kaufen. Fürs Leben lernen wir ? Garantiert nicht. Mein Beileid gilt den Schülern.

Comments

Überlege dir mal eine mathematische Begründung für die Verwendung von halbrunden DIN-Dachrinnen. Was optimieren die denn?

Den Materialverbrauch, die Funktionsweise vielleicht?

Ich freue mich über praktische Ideen.