Somit erhalten wir für jeden Parameterwert a eine nicht triviale Lösung - überrascht uns das? Wir haben vier Unbekannte; und ( 1.2a;3bc ) sind vom Rang 3 . Erst mit ( 1.2d ) hast du eine Bedingung an b ² und die Determinante; es bietet sich an, die Determinante zu entwickeln nach der ersten Spalte .
det = a ² ( a - 4 ) + b ² ( 2 - a ) = 0 ( 3.1 )
Betrachte den impliziten Plot in Wolfram; wegen des Quadrats ist die Funktion zweideutig . Es ergeben sich drei ===> Zusammenhangskomponenten; für a < 2 hast du zwei ( quasi ) gerade Linien, die sich im Ursprung schneiden . Dann bei x0 = 2 eine Polstelle; reelle Werte sind ausgeschlossen für 2 < x < 4 wegen b ² < 0 . Dann für a > 4 hast du so eine Art Hyperbel .
Aber auf diesen Mumpitz will ich mich gar nicht näher einlassen . In jedem Fall wenn ( 3.1 ) verletzt ist, ist dein LGS eindeutig lösbar . Wir setzen jetzt einfach ( implizit ) einen nicht trivialen Kern voraus .
Was lernen wir überhaupt aus ( 1.4c;2.6b ) ? Eine ganze Menge; in ( 1.1 ) suchten wir doch nur noch eine Sonderlösung . Und wenn dein ursprüngliches inhomogenes LGS überhaupt lösbar ist, so gibt es immer auch eine Lösung mit x3 = 0 . Wie das? Ich rechne das vor am Beispiel von ( 2.6b ) , im Falle ( 1.4c ) läuft der Beweis analog . Angenommen du hast eine Lösung
( x0 | y0 | z0 | w0 ) ( 3.2a )
Dann aber auch
( x1 | x2 | x3 | x4 ) = ( x0 | y0 | z0 | w0 ) - 1/6 z0 * Kern_2 = ( 3.2b )
= ( x0 | y0 + 2/3 z0 | 0 | w0 - 5/6 z0 ) ( 3.2c )
Von Anfang an habe ich Ziel bewusst darauf hin gearbeitet, dieses x3 los zu werden; dein LGS lautet nunmehr
x1 - x2 - 2 x4 = ( - 2 ) ( 3.3a )
- 2 x1 + 3 x2 = 4 ( 3.3b )
- x1 + x2 + a x4 = a ( 3.3c )
a x2 - 4 a x4 = 2 ( 3.3d )
Der Lösungsansatz besteht nun in dem Additionsverfahren ( 3.3a ) + ( 3.3c )
( a - 2 ) x4 = a - 2 ===> x4 = 1 v a = 2 ( 3.4 )
Betrachten wir zunächst x4 = 1 . In ( 3.3a ) führt dies auf x1 = x2 und in ( 3.3b ) entsprechend auf x1 = x2 = 4 . Dann bretterst du aber in ( 3.3d ) auf den Widerspruch 0 = 2 - keine Lösung .
Und jetzt a = 2 . Dann lautet ( 3.3d )
x2 - 4 x4 = 1 ( 3.5d )
Ich schick wieder ab .