Für welche Werte a und b ist das Gleichungssystem lösbar?

Question

Ich verwende Gauss und bekomme sowas:

1	-2	1	-2	= -2
0	1	a+2	-4	= 0
0	0	b-a^2-2a	4a-4	= 2
0	0	0	a-2	= a-2

Dann weiss ich dass fur a=2 unendlich viele Lösungen gibt da 0 * x4 = 0 ist.

Aber dann wie bestimme ich die andere Fälle?

Answer 1

  Du hast doch ganz typisch diese Aussage

  "  Allgemeine Lösung des LGS = Sonderlösung + Kern "  (  1  )

   In diesem Sinne; berechnen wir erst mal den Kern .   Es bietet sich förmlich an,  das Gaußverfahren einzusetzen, um x1 zu eliminieren .

         x1     -      x2  +      x3  -  2  x4  =  0       |   *  2         (  2a  )

    -  2  x1  +  3  x2  +  a  x3                =  0        (  2b  )

    Den Umformungsschritt habe ich wie üblich vermerkt;   zum Einsatz kommt das Additionsverfahren ( 2a )  +  ( 2b )

       x2  +  (  a  +  2  )  x3  -  4  x4  =  0      (  3b  )

    Die Nummerierung  (  a-d ) behalte ich konsequent bei, damit du weißt,  wie die Gleichungen zusammen gehören .    Und das Additionsverfahren  ( 2a ) + ( 2c ) führt direkt auf

            (  a  -  2  )  x4  =  0  ===>  a  =  2  v  x4  =  0      (  3c  )

      a  x2  +  b  ²  x3  -  4  a  x4  =  0     (  2d  )

   Setze zunächst x4 = 0  .

       (  3b  )  ===>  x2  =  -  (  a  +  2  )  x3     (  4a  )

     (  2a  )  ===>  x1  =  -  (  a  +  3  )  x3       (  4b  )

   Kern_1  =  [  -  (  a  +  3  )  |  -  (  a  +  2  )  |  1  |  0  )      (  4c  )

    Ich schick erst mal ab, weil mein System dauernd abstürzt .  Es reizt mich aber - gar nicht easy .

Comments

   So jetzt bin ich einiger Maßen ausgeschlafen . Ach ja; da war ja dieses  LGS ...

     Setzen wir jetzt a = 2 ; dann  nimmt  ( 1.3b ) die Form an

         x2  +  4  x3  -  4  x4  =  0    |    :  µ      (  2.1b  )

    Zu dem  neuen Parameter  µ  sag ich gleich nochwas . Aber wenn du dir mal das  LGS  ( 1.2a;2.1b ) näher ansiehst, dann hast du doch vier Unbekannte und Rang 2  . Das ergibt einen Kern der Dimension 2 .  Gleich als erstes hast du natürlich den Sonderfall  a = 2 ; x4 = 0  in  ( 1.4c )

   Kern_1  =  (  - 5  |  - 4  |  1  |  0  )      (  2.2  )

    Eine zweite Lösung ergibt sich,  wenn du x1 = 0  setzt in ( 1.2a )

        x2  -  x3  +  2  x4  =  0    |   :   µ      (  2.3a  )

    Was soll jetzt dieses  µ  sein?  Ich führe dir hier meinen Spezial Divisionstrick vor;  zwei Unbekannte gelten als beherrschbar .  Effektiv dividieren wir auch durch x4 .  Ich folge nur  ===>  Arndt Brünner, der den Kernvektor immer primitiv setzt -  letzten Endes nur eine formale Umformung .

 https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm

        Die Definition von µ  lautet

      x4  =:  5  µ       (  2.4a  )

    Ich setze noch

    X2  :=  x2 / µ  ;  X3  :=  x3 / µ      (  2.4b  )

   In den Unbekannten  ( 2.4b ) lauten   ( 2.1b;2.3a ) nunmehr

       X2  -        X3  =  (  -  10  )       (  2.5a  )

       X2  +  4  X3  =  20       (  2.5b  )

     mit der Lösung

     X2  =  (  -  4  )  ;  X3  =  6       (  2.6a  )

   Kern_2  =  (  0  |  - 4  |  6  |  5  )     (  2.6b  )

 
      Ich schick  erst mal wieder ab .

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      Somit erhalten wir für jeden Parameterwert a eine nicht triviale Lösung - überrascht uns das?  Wir haben vier Unbekannte;  und ( 1.2a;3bc ) sind vom Rang 3 .  Erst mit ( 1.2d ) hast du eine Bedingung an b ²  und die Determinante;    es bietet sich an, die Determinante zu entwickeln nach der ersten Spalte .

    det  =  a  ²  (  a  -  4  )  +  b  ²  (  2  -  a  )  =  0    (  3.1  )

    Betrachte den impliziten Plot in Wolfram;   wegen des Quadrats ist die Funktion zweideutig .  Es ergeben sich drei ===>  Zusammenhangskomponenten;  für  a < 2 hast du zwei ( quasi )  gerade Linien, die sich im Ursprung schneiden . Dann bei x0 = 2 eine Polstelle;  reelle Werte sind ausgeschlossen für 2 < x < 4  wegen   b ²  <  0 .  Dann für a > 4  hast du so eine Art Hyperbel .

   Aber auf diesen Mumpitz will ich mich gar nicht näher einlassen .  In jedem Fall wenn ( 3.1 ) verletzt ist, ist dein LGS eindeutig lösbar . Wir setzen jetzt einfach ( implizit ) einen nicht trivialen Kern voraus .

   Was lernen wir überhaupt aus ( 1.4c;2.6b ) ?  Eine ganze Menge; in ( 1.1 )  suchten wir doch nur noch eine Sonderlösung .  Und wenn  dein ursprüngliches inhomogenes  LGS  überhaupt lösbar ist, so gibt es immer auch eine Lösung mit x3 = 0 .  Wie das?  Ich rechne das vor am Beispiel von ( 2.6b ) , im Falle ( 1.4c ) läuft der Beweis analog .   Angenommen du hast eine Lösung

    (  x0  |  y0  |  z0  |  w0  )         (  3.2a  )

    Dann aber auch

      ( x1 | x2 | x3 | x4 ) = ( x0 | y0 | z0 | w0 ) - 1/6 z0 * Kern_2 =     (  3.2b  )

   = ( x0 | y0 + 2/3 z0 | 0 | w0 - 5/6 z0 )      ( 3.2c  )

   Von Anfang an habe ich Ziel bewusst darauf hin gearbeitet, dieses x3 los zu werden; dein  LGS  lautet nunmehr

          x1  -       x2  -  2  x4  =  (  -  2  )        (  3.3a  )

  -  2  x1  +  3  x2                =  4        (  3.3b  )

  -      x1  +      x2   +     a  x4  =  a       (  3.3c  )

     a  x2                 -  4  a  x4  =  2     (  3.3d  )

    Der Lösungsansatz besteht nun in dem Additionsverfahren (  3.3a  ) + ( 3.3c )

    (  a  -  2  )  x4  =  a  -  2  ===>  x4  =  1  v  a  =  2   (  3.4  )

    Betrachten wir zunächst x4 = 1 .  In ( 3.3a ) führt dies auf x1 = x2  und in ( 3.3b ) entsprechend auf x1 = x2 = 4 .  Dann bretterst du aber in ( 3.3d ) auf den Widerspruch 0 = 2 -   keine Lösung .

   Und jetzt a = 2 .  Dann lautet  (  3.3d  )

      x2  -  4  x4  =  1    (  3.5d  )

   Ich schick wieder ab .

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    Komisch; vielleicht kannst du mich ja unterstützen.  Gestern  hatte ich  aus Faulheitsprinzip  die Determinante  ( 3.1 )  voll Sinn los und ohne nachzudenken dem folgenden Portal überlassen:

https://matrixcalc.org/de/#determinant%28%7B%7B1,-1,1,-2%7D,%7B-2,3,a,0%7D,%7B-1,1,-1,a%7D,%7B0,a,b%5E2,-4%2Aa%7D%7D%29

       Auch jetzt bleibt er hartnäckig dabei . Ich halte dieses Ergebnis für Falsch; ich werde dir auch  gleich sagen warum .  Du musst doch weiter nix tun als nach der 3 . Zeile zu entwickeln;  und dann bleibt dir noch eine 2 X 2 Determinante.  (  3.1 ) muss richtig heißen

  

    det  =  (  2  -  a  )  [  ß  ²   -  a  (  a  +  2  )   ]      (  3.1  )

       Warum ist  ( 3.1 ) plausibel?  Erinnere dich, wie wir den Kern bestimmt hatten .

   1)     Rang  ( A )  = 3

    2)  mit Ausnahme von x2  =  2  .  Da sagten wir doch,   Rang  ( A )  =  2

   3)    Aber das heißt doch:  Wenn Rang = 3 ,  verbleibt  dir noch die Chance, das LGS mit der  4 . Zeile regulär zu kriegen . 

    ABER NICHT, WENN RANG = 2 . Dann könnte sich der Rang höchstens auf 3 steigern . Ein bisserl singulär ist auch singulär; ein bissele schwanger ist auch schwanger .

     4) Dem gemäß muss die Determinante einen Linearfaktor  ( a - 2 ) enthalten, damit sie für a = 2   UNTER ALLEN UMSTÄNDEN VERSCHWINDET  .

   5) Warum ist die eckige Klammer plausibel?  Gehen wir mal von dem allgemeinen Fall aus; da hatten wir doch eigens gesagt Kernvektor  x4  =  0 .  Und jetzt setze ( 1.4a ) ein in ( 1.2d )  gleich darüber .

        "  TADAAAH !!!  "

   Das war quasi meine " Arbeitsvorbereitung "  . Denn heut Morgen beim Frühstück kamen mir all die Inkonsistenzen hinter dieser Determinante in den Sinn .

   Aber ich  schulde dir noch den Hinweis, dass dein  LGS  überhaupt keine Lösung besitzt .   Aus  (  3.3ab  )

      x2  -  4  x4  =:  u  =  (  -  4  )        (  4.1  )

      und  (  3.5d  )

       u  =  1     (  3.5d  )   ;  Widerspruch

Answer 2

x₁=2(a+3)/(a²+2a-b²)

x₂=2(a+2)/(a²+2a-b²)

x₃=-2/(a²+2a-b²)

x₄=1

Keine Lösung für a²+2a-b²=0, sonst genau eine Lösung.

Comments

Ist x3 nicht = (6-4a)/ (b-a²-2a) ?

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Die angegebenen Lösungen wurden von einem Computer-Algebra-System gefunden. Ich will nicht ausschließen, dass mir ein Übertragungsfehler unterlaufen sein könnte, aber die Nenner von x₁, x₂ und x₃ sind wohl richtig übertragen.