Wurzeln vereinfachen? Bsp. sqrt(a+b*sqrt(c))

Question

Wie bringt man einen Term der Form

sqrt(a+b*sqrt(c))

in die Form

sqrt(a+b*sqrt(c)) ---> x+y*sqrt(z) oder auch x*sqrt(w)+y*sqrt(z) oder ähnlich

Comments

So ganz allgemein ist das aber wohl recht schwierig.

Oder hast du für abc konkrete Zahlen ?

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Deine Aufgabe macht so keinen Sinn.

Wie lautet das Original?

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Z.B: gilt

sqrt(3-2sqrt(2)) = sqrt(2)-1

Was ist z.B. mit

sqrt(sqrt(5)-1))?

Aber es geht mir gar nicht um konkrete Terme. Welche Methoden oder Vorgehensweisen gibt es?

Answer 1

Im konkreten Falle (a, b, c Zahlen) würde ich √(a+b*√(c)) = x+y*√(z) auf  beiden Seiten quadrieren und dann links/rechts vergleichen. Z.B. ist √(61+24*√5)) = 4+3√5.

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Daran habe ich auch schon gedacht. Das Problem ist aber: Wenn es mit dieser *nicht* geht, heißt das noch nicht, dass es *nie* geht.

Z.B. geht nicht:

sqrt(2+sqrt(2))

aber es geht:

sqrt(1+sqrt(2))

obwohl beide Radikanden sich nur um den Faktor sqrt(2) unterscheiden, und den kann man herausziehen.

Außerdem geht es zwar manchmal nicht im reellen, aber im Komplexen bekommt man eine Lösung.

Manchmal bekommt man auch eine Lösung, die aber den Term eher verkompliziert, als vereinfacht.

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Wenn du all deine Feststellungen ein bisschen generalisierst, dann hast du deine Frage selbst beantwortet. Eine allgemein gültige Regel kann es offenbar nicht geben. Es bleiben immer Fälle, in denen die gewünschte Umformung unmöglich ist. Man kann nur sagen, was erfüllt sein muss, damit die Umformung möglich ist.

Answer 2

sqrt(sqrt(5)-1))?

Du suchst also etwas in der Form z = a+b√5 mit   rationalen a und b damit

das z^2 = -1 +√5 ist.

Dazu quadrierst du  a+b√5  und erhältst

(a+b√5 )^2  = a^2 + 2ab√5  + 5b^2  =a^2 + 5b^2  + 2ab√5

Vergleich mit   -1 +√5    zeigt

a^2 + 5b^2 = -1    und    2ab = 1

Die 1. Gleichung ist mit rationalen a,b nicht lösbar, also

geht es so nicht.

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Ich suche Methoden. Mit dieser geht es also nicht. Dann brauche ich eine andere.

Answer 3

sqrt(3-2sqrt(2)) = sqrt(2)-1 ?

Du sollst ja nur prüfen, ob da dasselbe steht. √(2) beginnt mit 1,4... D.h. rechts und links stehen Zahlen > 0.

Umformen

sqrt(3-2sqrt(2)) = sqrt(2)-1           |^2 

(3-2sqrt(2)) = (sqrt(2)-1)^2        | binomische Formel

(3-2sqrt(2)) = (2 - 2sqrt(2) + 1) = 3 - 2sqrt(2) 

Somit stimmt die angegebene /vermutete Gleichheit.

Comments

Nein, ich will umformen. Ich kenne den vereinfachten Term normalerweise nicht.

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Das, was mathef vorschlägt, ist ja eine Umrechnung auf eine vermutete einfachere Form. Lies auch den Link, den dir jc2144 angegeben hat.

Allenfalls ist auch https://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-540-85790-7_56 von Interesse.

Answer 4

hier steht wie das geht:

https://en.wikipedia.org/wiki/Nested_radical#Denesting_nested_radicals