Entscheiden Sie für folgende Folgen, ob liminf n→∞ an, limsup n→∞ an bzw. lim n→∞ an existieren

Question

Entscheiden Sie für folgende Folge (a_n)_n∈ℕ, ob liminf n→∞a_n, limsup n→∞a_n bzw. lim n→∞a_n existieren,und bestimmen Sie diese Werte gegebenenfalls.


$${ a }_{ n }{ :=(-1) }^{ n }\frac { { n }^{ 2 } }{ { 2 }^{ n } }$$

Mein Lösungsvorschlag:

Es gibt 2 Fälle:

1. Fall: n ist gerade Zahl

$$Weil\quad { 2 }^{ n }wächst\quad schneller\quad als\quad { n }^{ 2 }\quad konvergiert\quad \frac { { n }^{ 2 } }{ { 2 }^{ n } } \quad gegen\quad Null.\quad Somit\lim _{ n->\infty }{ { a }_{ n } } { :=(-1) }^{ n }\frac { { n }^{ 2 } }{ { 2 }^{ n } } =1*0=0$$

2. Fall: n ist ungerade Zahl

$$Weil\quad { 2 }^{ n }wächst\quad schneller\quad als\quad { n }^{ 2 }\quad konvergiert\quad \frac { { n }^{ 2 } }{ { 2 }^{ n } } \quad gegen\quad Null.\quad Somit\lim _{ n->\infty }{ { a }_{ n } } { :=(-1) }^{ n }\frac { { n }^{ 2 } }{ { 2 }^{ n } } =-1*0=0$$

Es existieren weder Supremum noch Infimum in beiden Fällen.

Answer 1

Du kannst auch sagen:  Die Folge hat für n gegen unendlich den Grenzwert 0.

Also ist dies der einzige Häufungspunkt und deshalb sowohl lim inf als auch lim sup.