Wahrscheinlichkeitsrechnung

Question

Ich habe ein paar Schwierigkeiten bei ein paar Aufgaben. zwei von 5 habe ich bisher gelöst, weiß aber nicht genau ob sie Richtig sind.

1) 5 Personen verteilen sich zufällig an einem Tisch mit 5 Plätzen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass A neben B, C aber nicht neben D sitzt, wenn

a) die Stühle in einer Reihe stehen

b) die Stühle im Kreis stehen.


Ich dachte mir es gibt 8 Möglichkeiten, dass A und B nebeneinander sitzen (bei b. 10). 3 Plätze bleiben übrig. Insgesamt gibt es 5! Möglichkeiten die 5 Personen zu verteilen. Also:

a) A und B nebeneinander: (8*3!)/5!=0,4            C und D nicht nebeneinander: 1-0,4=0,6           0,4+0,6=0,24

b)                 "                   (10*3!)/5!=0,5                           "                                 1-0,5=0,5            0,5*0,5=0,25                   
ist das richtig?


2) Ein Mann sucht seine Brille. Zu 85%iger Sicherheit befindet sie sich in einer seiner 5 Reisetaschen. 4 davon hat er bereits durchsucht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Brille in der 5. Tasche?


Ist das dann nicht einfach 85%/5? also 17% ??

Comments

zur 2. Aufgabe würde ich folgendes vermuten:
Wenn der Mann 100 mal sucht, findet er die Brille im Schnitt

17 mal in Tasche 1, 17 mal in Tasche 2, 17 mal in Tasche 3, 17 mal in Tasche 4, 17 mal in Tasche 5 und 15 mal außerhalb der Taschen.
Die Taschen 1 bis 4 scheiden nach dem Durchsuchen als Fundorte aus.
Es bleiben also noch 17 Fälle, dass die Brille in Tasche 5 gefunden wird, und 15 Fälle, dass die Brille außerhalb gefunden wird, also insgesamt 32 Fälle.
Deshalb würde ich sagen, dass die Wahrscheinlichkeit, die Brille in Tasche 5 zu finden,
17/32

beträgt.

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Hmm danke dachte mir schon dass meine Rechnung zu einfach wäre..

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Gern geschehen!

Bin mir nicht völlig sicher mit meiner Rechnung, aber ich finde sie ganz folgerichtig:
Jedesmal, wenn eine Tasche erfolglos durchsucht wurde, steigt die Wahrscheinlichkeit für die verbliebenen Stellen (Taschen und außerhalb) als Fundorte.

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In der Aufgaben Stellung steht noch, dass das Vorkommen in jeder dieser Taschen gleich wahrscheinlich ist. Ändert das was?

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Nein, von dieser Gleichwahrscheinlichkeit war ich sogar ausgegangen.

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Vielen vielen Dank. Und Wie sieht es mit Aufgabe 1 aus?

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Die schau ich mir nachher vielleicht noch an; so aus dem Handgelenk kann ich die nämlich nicht lösen

:-)

Answer 1

Hallo again, 

 

sitzt A an Platz 1, so haben die anderen Personen B, C, D und E insgesamt 4! = 24 Möglichkeiten, die anderen Plätze einzunehmen. Wenn B auf Platz 2 sitzt, gibt es für C, D und E insgesamt 3! = 6 Möglichkeiten, die anderen Plätze einzunehmen. Das gilt auch, wenn C auf Platz 2 sitzt. Also gibt es 6 + 6 = 12 "günstige" Verteilungen. Genau so viele "ungünstige" Verteilungen gibt es, nämlich wenn D oder E auf Platz 2 sitzen. 

(also 12 günstige, 12 ungünstige Verteilungen) 

Gleiches gilt, wenn A an Platz 5 sitzt, weil er auch dort nur einen Sitznachbarn hat.

(ebenfalls 12 günstige, 12 ungünstige Verteilungen)

 

Wenn A an Platz 2 sitzt, hat er einen Nachbarn zur Rechten und einen zur Linken.

Sitzt B links neben ihm, so haben die anderen noch 6 Möglichkeiten, sich zu verteilen: CDE, CED, DCE, DEC, ECD und EDC: 4 günstige, 2 ungünstige (weil er dann neben D säße).

Sitzt C links neben ihm, so gibt es analog auch 4 günstige, 2 ungünstige Verteilungen.

Sitzt D links neben ihm, so sind alle 6 verbliebenen Möglichkeiten ungünstig, denn A soll ja nicht neben D sitzen.

Sitzt E links neben ihm, so bleiben die Verteilungen: BCD, BDC, CBD, CDB, DBC und DCB: 4 günstige und 2 ungünstige.

Wer rechts von A sitzt, braucht nicht separat untersucht zu werden, da das hier schon geschehen ist.

Also A an Platz 2: 12 günstige, 12 ungünstige.

 

Wenn A an Platz 3 oder 4 sitzt, läuft die Rechnung analog.

 

Also:

A an Platz 1: 12 günstige, 12 ungünstige Verteilungen

A an Platz 2: 12 günstige, 12 ungünstige Verteilungen

Gleiches für die Plätze 3 bis 5.

Von den 5 * 24 = 120 = 5! Möglichkeiten sind also 5 * 12 = 60 günstig.

 

Die Wahrscheinlichkeit, dass A neben B und/oder C sitzt, aber nicht neben D, beträgt also 60/120 = 50%, wenn die Stühle in einer Reihe stehen.  

 

Wenn die Stühle im Kreis stehen, müsste man genauso rechnen wie oben, wenn A am Platz 2, 3 oder 4 sitzt, denn dann gibt es ja auch 2 Nachbarn. 

 

Kombinatorik-Lösungen ohne Gewähr :-D

 

Besten Gruß