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Hi
Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph
a) durch A(2|0), B(-2|4), C(-4|8) geht und einen Tiefpunkt auf der y-Achse hat,
b) durch A(2|2), B(3|9) und den Tiefpunkt T(1|1).

Besten Dank im Voraus!

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durch A(2|0), B(-2|4), C(-4|8) geht und einen Tiefpunkt auf der y-Achse hat,
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx +d

f ' (x) = 3ax^2 + 2bx + c

A(2|0)  ==>  f(2)=0 ==>  8a+4b+2c+d=0

B(-2|4) ==>  f(-2)=4 ==>  -8a+4b-2c+d=4

 C(-4|8)  ==>  f(-4)=8 ==>  -64a+16b-4c+d=8

 und einen Tiefpunkt auf der y-Achse hat,  ==>  f ' (0)=0 ==>  c=0

also bleibt

8a+4b+d=0  und   -8a+4b+d=4 und  -64a+16b+d=8

Das gibt a=-1/4  und b=-5/6 und c=16/3 also

f(x)= ( -1/4) x^3  - (5/6)x^2  +16/3

Bei der 2. bedenke: Du hast wieder 3 Punkte

und wegen Tiefpunkt f ' (1)=0. Bei der ersten sieht es so aus:

~plot~  ( -1/4) x^3  - (5/6)x^2  +16/3;[[-5|4|-20|20]] ~plot~

und man merkt:  So eine Funktion gibt es gar nicht;

denn wenn auf der y-Achse ein Extrempunkt liegt,

dann ist es ein Hochpunkt.

von 153 k

Bei der 2. bedenke: Du hast wieder 3 Punkte und wegen Tiefpunkt f ' (1)=0. Und man merkt:  So eine Funktion gibt es gar nicht;  wenn wenn auf der y-Achse ein Extrempunkt liegt, dann ist es ein Hochpunkt.

Okay, aber bei b) ist der Tiefpunkt doch nicht auf der y-Achse sondern bei (1|1).
Habe das mit einem LGS-Rechner gelöst und festgestellt, dass bei (1|1) ein Wendepunkt und kein Tiefpunkt ist. Verstehe nicht, wieso solche Aufgaben aufgegeben werden, die nicht lösbar sind!

f(x)= ( -1/4) x3  - (5/6)x2  +16/3x

x vergessen, daher Graph falsch und Folgerung fraglich.

f(x)= ( -1/4) x3  - (5/6)x2  +16/3x
x vergessen, daher Graph falsch und Folgerung fraglich.


c=0

d=16/3

Ja, mein Kommentar ist falsch.

Ich vermute, dass vielleicht der Sinn dieser Aufgaben

darin liegen soll deutlich zu machen, dass zu der Lösung

solcher "Steckbriefaufgaben" immer auch die

anschließende Prüfung gehört, ob das Ergebnis

wirklich alle geforderten Bedingungen erfüllt.

Bei den Extrempunkten benutzt man ja

nur eine notwendige Bedingung f'(x)=0,

also kann man aus dem Erfülltsein dieser

Bedingung noch nicht schließen, dass dort wirklich

der gewünschte Tiefpunkt ist.

ja, sehr schön :-)

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