Was ist die Stammfunktion von f(x)=(2x+4)*e^-2x?

Question

Meine Aufgabe ist zu beweisen, dass F(x)= (-x-2,5)*e^-2x eine Stammfunktion von f(x)=(2x+4)*e^-2x ist. Leider verstehe ich nicht wie man auf diese Stammfunktion kommt und es wäre wirklich nett, wenn jemand mir die Rechnung Schritt für Schritt erklären könnte.

Marie

Answer 1

du kannst einfach die Stammfunktion  F ( x ) ableiten und wenn du auf die Ausgangsfunktion f ( x ) kommst, dann hast du gezeigt, dass F ( x ) eine Stammfunktion von f ( x ) ist. Also: F' ( x ) = f ( x )

$$F(x)=(-x-2,5)\cdot e^{-2x}$$

Mit Produktregel

$$u=-x-2,5\\u'=-1\\v=e^{-2x}\\v'=-2\cdot e^{-2x}$$

$$f(x)=(-x-2,5)\cdot (-2\cdot e^{-2x})-e^{-2x}\\f(x)=2x\cdot e^{-2x}+5\cdot e^{-2x}-e^{2x}\\f(x)=e^{-2x}\cdot 2x+5-1\\f(x)=e^{-2x}\cdot (2x+4)$$

Gruß

Smitty