Question

Zeigen Sie, dass der Kern eines Homomorphismus Phi:H->G von Gruppen eine Untergruppe Lvon H ist mit folgender zusätzlichen Eigenschaft: Ch(L) c L, für alle h element H.
Solche Gruppen L c H heißen Normalteiler.

Ich komme hier nicht vorran. kann mir jemand einen Tipp geben?

Comments

was heißt Ch(L)?

MfG

Mister

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Dieses h ist kleiner geschrieben und leicht nach unten versetzt, wie z.b wenn man x1 und x2 hat....

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Okay, und was heißt dann $C_h (L)$?

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zuvor wurde noch in einer Aufgabe definiert, dass C_g : G → G , a ↦ C_g(a) = gag^-1 der innere Automorphismus ist, welcher einen Homomorphismus C:G →Aut(G) definiert. 

 

Wahrscheinlich muss man damit irgendwie arbeiten? 

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Naja, man kann ja zuerst einmal zeigen, dass der Kern eine Untergruppe ist.

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und dann ? :(

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sorry ich blicke 0 durch

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Dann zeigt man, dass der Kern $L$ für alle $h \in H$ abgeschlossen ist bezüglich der Operation $a h a^{-1}$ für alle $a \in L$. Das ist gar nicht so schwer.

Answer 1

Hallo nochmal,

also wir können ja zuerst zeigen, dass der Kern $L$ des Gruppen-Homomorphismus' $\varphi$ abgeschlossen ist, sprich, die Verknüpfung zweier beliebiger Elemente $a, b \in L$ wieder in $L$ liegt:

Wegen $a, b \in L$ gilt zunächst $\varphi(a) = e$ und $\varphi(b) = e$. Für das Produkt von $a$ und $b$ gilt vermittels der Gruppen-Homomorphismuseigenschaft von $\varphi$:

$\varphi (a \circ b) = \varphi(a) \cdot \varphi(b) = e \cdot e = e$.

Daraus folgt $a \circ b \in L$. Das neutrale Element ist trivialerweise in $L$.

Das Inverse Element $a^{-1}$ eines Elementes $a$ ist aus folgendem Grund in $L$:

$\varphi(a^{-1}) = (\varphi(a))^{-1} = e^{-1} = e$.

Dass $gag^{-1} \in L$ für alle $g \in H$ und $a \in L$, ist ebenso leicht zu ersehen:

$\varphi(gag^{-1}) = \varphi(g)\varphi(a)\varphi(g^{-1}) = \varphi(g) \cdot e \cdot \varphi(g^{-1}) = \varphi(g) \cdot \varphi(g^{-1}) \cdot e = e \cdot e = e$.

MfG

Mister

PS: Siehe auch http://de.wikiversity.org/wiki/Gruppenhomomorphismus/Kern_ist_Unterg… .