Bestimmen Sie für die Untervektorraum des R^4 eine Basis :

Question

Bestimmen Sie für den folgenden Untervektorraum des ℝ⁴ eine Basis.

U=span { v₁,v₂,v₃ }

v₁= (1,-2,0,1)      v₂=(-2,1,1,1)     v₃=(1,7,-3,-8)

Ich habe jetzt schonmal die Matrix mit den Vektoren als Spaltenvektoren (vertikal) auf Zeilenstufenform gebracht :

1   -2     1

0   -3      9

0    0    -2,5

0    0      0

Das würde dann ja bedeuten die Vektoren wäre lineare unabhängig aber wie mache ich nun weiter ?

Answer 1

Wenn die erzeugenden Vektoren lin. unabhängig sind, bilden sie eine Basis.

Allerdings scheint deine Umformung nicht zu stimmen, ich bekomme

2   -1     -7
0    1       -3
0    0       0
0    0      0

d.h. nur 2 sind linear unabhängig und in der Tat ist

-5v1 - 3v2 =  v3

also bilden v1 und v2 eine Basis von U.