0 Daumen
533 Aufrufe

(a)

Es seien z1,z2 ,zverschiedene komplexe Zahlen mit |z1| = |z2| = |z3|. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

 (i) z1,z2 ,z3 sind -die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks:

     |z1-z2| = |z2 -z3| = |z3-z1|

 (ii)

 z1+z2+z3 = 0

 (iii)

 z1,z2 ,z3 sind Lösungen einer Gleichung z3 - c = 0 mit c ∈ ℂ*


(b)

 Schreiben sie das Polynom z- 1 als Produkt zweier Polynome vom Grad 1 bzw. 2 mit reellen Koeffizienten




Zur a) ii)

Da die Strecken zwischen den Zs alle im gleichen Winkel zueinder liegen und der Betrag jener gleich ist, muss die Summe der Punkte 0 sein.

stimmt das? ich komm hier wirklich nirgends weiter

von

Vom Duplikat:

Titel: z1, z2, z3 seien verschiedene komplexe Zahlen. Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen

Stichworte: komplexe,zahlen,komplexe-zahlen,äquivalenz,beweis

(a) Es seien z1, z2, z3 verschiedene komplexe Zahlen mit |z1| = |z2| = |z3|.
Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
(i) z1, z2, z3 sind die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks:  |z1 − z2| = |z2 − z3| = |z3 − z1|.

(ii) z1 + z2 + z3 = 0.

(iii) z1, z2, z3 sind Lösungen einer Gleichung z^3 − c = 0 mit c ∈ C/{0}

(b) Schreiben Sie das Polynom z^3 − 1 als Produkt zweier Polynome vom Grad 1 bzw. 2 mit reellen Koeffizienten.

Hallo

 da die zi alle den gleichen Betrag haben, liegen sie auf einem Kreis um 0. zeichne darein ein gleichseitiges Dreieck un du siehst, wie man es beweist,

Gruß lul

Vom Duplikat:

Titel: Äquivalenz von Aussagen zeigen: Es seien z1, z2, z3 verschiedene komplexe Zahlen mit |z1| = |z2| = |z3|.

Stichworte: verschiedene,komplexe,zahlen,äquivalenz



Ich sitze an folgender Aufgabe und verzweifle einfach daran. Es wäre echt toll, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!

(a) Es seien z1, z2, z3 verschiedene komplexe Zahlen mit

     |z1| = |z2| = |z3|.

Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.


(i) z1, z2, z3 sind die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks:

    |z1 - z2| = |z2 - z3| = |z3 - z1|.

(ii) z1 + z2 + z3 = 0

(iii) z1, z2, z3 sind Lösungen einer Gleichung z3 - c = 0 mit

     c ∈ ℂ \{0}.

Diese Frage wurde gestern schon einmal gestellt.

1 Antwort

+2 Daumen

Hallo

eine Möglichkeit : da all Z auf einem Kreis um 0 liegen, kannst du ein Beispiel zeichnen, und daran alles ablesen, deine Antwort reicht nicht: wenn alle Winkel gleich sind etwa 30° ist die Summe nicht 0.

zu iii hast du die Gleichung gelöst= auf dem Kreis mit Radius  dritte Wurzel c kannst du die Lösungen direkt einzeichnen!

ohne Zeichnen, nur Rechnen z=r*eiφ. gehen die Beweise auch einfach,

Gruß lul

von 26 k

Aber die Seiten sind doch gleich also müssen die Winkel 60° sein richtig? 180° im dreieck oder ist das bei komplexen zahlen anders?

und verstanden hab ich die iii damit leider nicht, aber es hört sich plausibel an.

was ist e?

Kann ich von dieser Zeichnung alles ablesen?z-dreieck.png

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...