Schnittmenge von zwei linearen Huellen berechnen

Question

gegeben sind folgende linearen Huellen:

$$U_1=r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\  3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\  0 \end{pmatrix}$$

$$U_2=t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\  2 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\  9 \end{pmatrix}$$

$$Zu \space bestimmen \space ist \space nun \space U_1 \cap U_2$$

Also erstmal setzte ich beide gleich.

$$r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\  3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\  0 \end{pmatrix}=t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\  2 \end{pmatrix} + u \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\  9 \end{pmatrix}$$

Nun wende ich den Gauss-Algorithmus an.

$$\begin{pmatrix} 1  & 0 & 0 & 3\\ 2 &1&2&0\\  3 &0&2&9\end{pmatrix}  \rightarrow  \begin{pmatrix} 1  & 0 & 0 & 3\\ 2 &1&2&0\\  0 &0&2&0\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1  & 0 & 0 & 3\\ 2 &1&0&0\\  0 &0&2&0\end{pmatrix}$$

So jetzt komme ich nicht weiter. Mein t ist  0. Aber was sagen mir die anderen Zeilen? Ist 2r + s = 0 ? Also 2r = -s ? Ist r = 3u ?

Was kann ich nun damit anfangen? Lineare Gleichungssysteme haben wir noch nicht behandelt, bitte um Hilfe.

Comments

Ergibt sich vielleicht: $$r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\  3 \end{pmatrix} - 2r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\  0 \end{pmatrix} = \frac{1}{3}r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\  9 \end{pmatrix}$$

$$ \iff  \begin{pmatrix} r \\ 2r \\  3r \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ -2r \\  0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r \\ 0 \\  3r \end{pmatrix} $$

$$\iff  \begin{pmatrix} r \\ 0 \\  3r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r \\ 0 \\  3r \end{pmatrix}$$

$$\iff  \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\  0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\  0\end{pmatrix}$$

?

Verstehe ich das richtig, dass das bedeutet, dass die Schnittmenge leer ist (bis auf den Nullvektor)?

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Bei der letzten Umformung darfst du nicht einfach die r weglassen.

r ist beliebig. D.h. du hast zumindest eine Schnittgerade g: X = r*(1,0,3), r Element R gefunden.

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Hm ich habe ich letzten Schritt eigentlich nur auf beiden Seiten das Negative des Vektors addiert. Warum darf ich das nicht?

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Du suchst möglichst viele und nicht möglichst wenige Vektoren, die in beiden Ebenen liegen.

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Ok das macht Sinn.

Answer 1

Die Lösung des GLS kommt auf

\(\left\{  \left\{ r = 3 \; u, s = -6 \; u, t = 0 \right\}  \right\} \)

Wenn Du t in U2 einsetzt erhältst Du die Schnittgerade \(X= u \left(3 \; , 0, 9 \;  \right)^T\)

und wenn Du r,s in U1 einsetzt erhältst Du \(X= u \left(3 \; , 0, 9 \;  \right)^T\)

also die gleiche Gerade.

Grundsätzlich kannst Du einen der Parameter festhalten, weil Du einen für die Gerade über haben musst - wenn eine existiert....

Du löst das GLS mit r,s,t

\(\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\2&1&-2\\3&0&-2\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{r}r\\s\\t\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}3\; u\\0\\9\; u\\\end{array}\right) \)

Answer 2

Es wird vermutlich einfacher, wenn du die Parameterformen Gleichungen für die Ebenen U1 und U2 in die Koordinatenform umwandelst.

Dann kannst du die Schnittmenge der beiden Ebenen bestimmen.

(3,0,9) = 3* (1,0,3)

(1,2,3) - 2(0,1,0) = (1,0,3)

Darum ist schon mal (1,0,3) und alle Vielfachen davon in U1 n U2.

D.h. zumindest eine Gerade liegt in U1 n U2.