In 3 gleich großen würfelförmigen Kartons liegen 3 Sorten von Kugeln

Question

In drei gleich großen, würfelförmigen Kartons liegen drei Sorten von Kugeln ( siehe Bild). Die große Kugel füllt genau einen Karton aus. Die Durchmesser der Kugeln im 2.Karton sind halb so groß wie der großen Kugel, die Durchmesser der Kugeln im 3.Karton wiederum halb so groß wie die im mittleren. Berechnen Sie

a) die Einzelvolumen der drei Kugelsorten

b) das Verhältnis der drei Einzelvolumen zueinander

c) das Verhältnis der Gesamt-Kugelvolumen von Karton 1 : Karton 2 : Karton 3

d) das Verhältnis der Gesamt-Kugeloberflächen von Karton 1 : Karton 2 : Karton3

Beachten Sie die jeweilige Anzahl der Kugeln:

Karton 1: 1 Kugel

Karton 2: 8 Kugeln

Karton3: 64 Kugeln

Answer 1

 

 

Volumen einer Kugel V = 4/3 * π * r³

Oberfläche einer Kugel O = 4πr²

 

a) Einzelvolumen der drei Kugelsorten

1. Große Kugel V = 4/3 * π * (4cm)³ = 256/3 π cm³ 

2. Mittlere Kugeln V = 4/3 * π * (2cm)³ = 32/3 π cm³

3. Kleine Kugeln V = 4/3 * π * (1cm)³ = 4/3 π cm³

 

b) Verhältnis der drei Einzelvolumen zueinander

Die große Kugel hat das 8fache Volumen einer mittleren Kugel, und diese haben wiederum das 8fache Volumen einer kleinen Kugel.

Also: 

64 : 8 : 1

 

c) Verhältnis der Gesamt-Kugelvolumen

Eine große Kugel = 256/3 π cm³

8 mittlere Kugeln = 8 * 32/3 π cm³ = 256/3 π cm³

64 kleine Kugeln = 64 * 4/3 π cm³ = 256/3 π cm³

Wir haben also ein Verhältnis der Gesamt-Kugelvolumen in den drei Kartons von 

1 : 1 : 1

 

d) Verhältnis der Gesamt-Kugeloberflächen

Oberfläche einer Kugel O = 4πr²

Große Kugel O = 4π(4cm)² = 64 π cm²

8 mittlere Kugeln O = 8 * 4π(2cm)² = 128 cm²

64 kleine Kugeln O = 64 * 4π(1cm)² = 256 cm²

Also ein Verhältnis von 

1 : 2 : 4

 

Besten Gruß