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Ich möchte diese Aufgabe lösen und weiss nicht, welchen Ansatz ich am besten verwenden sollte.


5.) Die gemeinsamen Punkte einer Parabel mit der Geraden g: f(x) = x + 1 sind P (2|yp) und Q (xQ|-2). Der Schnittpunkt der Parabel mit der y-Achse liegt bei -5.


a) Bestimmen Sie die Nullstellenform der Funktionsgleichung der Parabel.

b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel.

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ich würde damit beginnen, die fehlenden Koordinaten der beiden Punkte zu bestimmen.

Oki, das werde ich tun.

2 Antworten

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Hallo Atorian,

Die allgemeine Funktion für eine Parabel ist $$p(x) = ax^2 + bx + c$$ Wenn die Parabel mit der Funktion \(f(x)=x+1\) bei \(x=2\) einen gemeinsamen Punkt hat, dann ist $$4a + 2b + c = 2 +1$$ Da \(f\) auch durch den Punkt \(Q=(x_Q|-2)\) geht ist $$f(x_Q) = -2 = x_Q + 1 \quad \implies x_Q= -3$$ Daraus folgt dann $$(-3)^2 a - 3b + c = -2$$ beim Schnittpunkt mit der Y-Achse ist \(x=0\) also ist \(p(0)=c=-5\). \(c=-5\) kann man oben einsetzen, es verbleiben zwei Gleichungen mit den Unbekannten \(a\) und \(b\): $$4a + 2b = 8 \\ 9a - 3b = 3 \\ \implies a=1, \space b=2$$ Damit lautet die Funktion der Parabel $$p(x)= x^2 + 2x - 5$$ Für die Nullstellenform muss man noch die Nullsstellen \(x_{1,2}\) berechnen. nach der pq-Formel ist $$x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{1 + 5} \\ \quad \implies x_1 = -1 + \sqrt 6 , \space x_2 = -1 - \sqrt 6$$ Daraus folgt dann die Nullstellenform $$p(x)=(x +1 - \sqrt 6) (x + 1 + \sqrt 6 )$$ Der Plot zeigt, dass das Ergebnis sinnvoll ist ~plot~ x^2+2x-5;x+1;{2|3};{-3|-2};{-1|-6};[[-6|6|-7|6]] ~plot~

Der Scheitelpunkt folgt aus der pq-Formel, da die Nullstellen symmetrisch zum Scheitelpunkt liegen. Er liegt folglich bei \(x_s=-1\) bzw. \(S=(x_s| f(x_s)) = (-1| -6)\) (s. Graph)

Gruß Werner

Avatar von 48 k

Ich danke dir sehr! Das ist sehr ausführlich erklärt, ich habe die Aufgabe jetzt verstanden.

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Hallo

 Die   Nullstellenform ist wohl y=c*(x-a)*(x-b)

1. Schritte zweite Koordinate von P und Q durch einsetzen in die Gerade Bestimm. zusammen mit dem Schnittpunkt mit der y Achse hast du dann 3 Punkte, die du in die ParabelGleichung oben oder in y=ax^2+bx+c  einsetzt, dann musst du am Schluss damit noch die  Nullstellenform herstellen. Die x- Koordinate des Scheitels liegt in der Mitte der 2 Nullstellen, oder du formst in die Scheitelpunktform um.

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀

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