Gegenseitige Lage von 2 Ebenen in Parameterform beurteilen

Question

Ich komme mit dieser Aufgabe nicht weiter Ich weiß nicht, wie man LGS mit vier mit Unbekannten löst

Gegenseitige Lage von 2 Ebenen in Parameterform beurteilen

Comments

Sollst du die gegenseitige Lage der Ebenen beurteilen oder die Lage der beiden Ebenen im Raum einzeln beschreiben?

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die gegenseitige Lage der Ebenen beurteilen

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Ok. Habe das nun oben präzisiert und du kannst so vorgehen, wie in den beiden vorhandenen Antworten. Die hatten beide die Fragestellung richtig ergänzt.

Answer 1

ich empfehle dir eigentlich eine der beiden Ebenen in Koordinatenform umzuwandeln und dann die andere einzusetzen.

So musst du das LGS lösen, dass am Ende 2 Unbekannte stehen bleiben. Dort stellt du dann so um, dass z.B. etwas stehen bleibt wie u=-3t+3. Also hast du eine Schnittgerade. Statt deinem u setzt du jetzt dein t als 2. Parameter in eine der beiden Ebenen ein und du erhältst die Geradengleichung.

Answer 2

wenn es nur darum geht, eine qualitative Aussage der Lage der Ebene zueinander zu machen, dann reicht es aus, nachzuweisen, dass mindestens einer der Richtungsvektoren einer Ebene nicht linear von den Richtungsvektoren der anderen Ebene abhängt. Es sei $$E_1: \space x = a + r \cdot b + s \cdot c\\ E_2: \space x = d + t \cdot e+ u \cdot f$$Wenn man nun nachweist, dass die Gleichung $$r \cdot b + s \cdot c = e$$ keine(!) Lösung hat, dann schneiden sich die Ebenen und die Schnittmenge ist eine Gerade - also: $$r \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1\end{pmatrix}$$ D.h. Du brauchst bloß das Gleichungssystem $$\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\\end{array}$$ zu lösen. Das wäre $r= 1$ und $s=-1$. Setzt Du dies in die 3.Zeile ein, so erhältst Du $$1 \cdot 3 + (-1) \cdot 1 \ne 1$$ Es existiert keine Lösung! Das bedeutet, dass $e$ von $b$ und $c$ - den Richtungsvektoren von $E_1$ - linear unabhängig ist und somit nicht in $E_1$ liegt. Folglich existiert eine Schnittgerade.

Gruß Werner