Bernoulli-Kette und Binomialverteilung

Question

Ich habe alle Aufgaben berechnet und würde mich darüber freuen, wenn sie jemand mal kurz kontrollieren könnte.

1. Ein Autohersteller bestellt Scheinwerferlampen. Erfahrungsgemäß sind 4% der Lampen fehlerhaft.
a. Wie viele fehlerhafte Lampen sind in einer Lieferung von 5000 Lampen zu erwarten?
b. Der Autohersteller benötigt im Mittel mindestens 6000 fehlerfreie Lampen. Wie viele Lampen soll er bestellen, um 6000 fehlerfreie Lampen zu erwarten?
c. In welchem Intervall liegt die Anzahl der fehlerhaften Lampen mit 99.7% Sicherheit, wenn die Lieferung 3000 Lampen umfasst?

Problem/Ansatz

1a) 200 Lampen

b) hab da einfach die formel für den erwartungswert nach n umgestellt. Da kommt 6250 raus :)

c) hier bin ich mir nicht sicher. Ich habe hier den Intervall zwischen (2983<x<2999) raus. Habe hier den 3.Sigmaregel angewendet.

Wenn ich Fehler haben sollte, dann kann ich den ganzen Rechenweg aufschreiben.

Answer 1

1. Ein Autohersteller bestellt Scheinwerferlampen. Erfahrungsgemäß sind 4% der Lampen fehlerhaft.

a) Wie viele fehlerhafte Lampen sind in einer Lieferung von 5000 Lampen zu erwarten?

μ = n·p = 5000·0.04 = 200

b) Der Autohersteller benötigt im Mittel mindestens 6000 fehlerfreie Lampen. Wie viele Lampen soll er bestellen, um 6000 fehlerfreie Lampen zu erwarten?

n·(1 - 0.04) = 6000 → n = 6250

c) In welchem Intervall liegt die Anzahl der fehlerhaften Lampen mit 99.7% Sicherheit, wenn die Lieferung 3000 Lampen umfasst?

μ = n·p = 3000·0.04 = 120
σ = √(n·p·q) = √(3000·0.04·0.96) = 10.73
[μ - 3·σ; μ + 3·σ] = [120 - 3·10.73; 120 + 3·10.73] = [88; 152]

Comments

Die 2. Frage solltest du getrennt stellen, da es sich um eine komplett andere Aufgabe handelt.

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Die Antwort zu b) scheint nahe liegend, aber ist die Antwort wirklich richtig?

Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 250 Lampen defekt sind, liegt nach meiner Berechnung bei 75,71%, d.h. in rund einem Viertel der Fälle liegt die Anzahl der defekten Lampen höher. Hier ist mehr nach der 3 Sigma-Regel gefragt, die 99,7% der Fälle abdeckt.

Also μ= n*p=6000*0,04=240

σ = √(n·p·q) = √(6000·0.04·0.96) =48

μ + 3·σ=240+3*48=384

Somit sollten 6384 Lampen bestellt werden, um mindestens 6000 fehlerfreie Lampen zu haben.

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Du solltest richtig lesen. Es geht nicht darum, 6000 fehlerfreie Lampen mit einer Wahrscheinlichkeit von p% zu haben, sondern 6000 fehlerfreie Lampen zu erwarten. Der Erwartungswert der fehlerfreien Lampen in der Bestellung soll also 6000 sein.

μ = n·p = 6250·0.96 = 6000

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Das Intervall für Teil c) stimmt nicht.

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Tippfehler korrigiert.