Lösung von: die Folge (xn) sei rekursiv definiert durch x0=1 und xn+1=xn/3+1

Question

Ich bin jedem dankbar für die Mühe  :)

Aufgabe:

die Folge (xn) sei rekursiv definiert durch x₀=1 und xn+1=\( \frac{x_n }{3} \) +1

a) zeigen Sie induktiv, dass x_{n < \( \frac{2}{3} \) für alle n ∈ℕ}

b) untersuchen Sie das monotonverhalten von (x_n)

c) zeigen Sie, dass (x_n) konvergent ist

d) bestimmen Sie den Grenzwert von (x_n)

Answer 1

Hallo Diana,

a) 

A(n):    x _n  <  3/2   für alle n ∈ ℕ₀

Basis:  A(0):     x_o = 1 <  3/2  ist wahr

Induktionsschritt  A(n)  →  A(n+1)       Induktionsvoraussetzung IV

 x_n+1 =  x_n / 3  + 1  <_IV  3/2 / 3 + 1  = 1/2 + 1  = 3/2 

          die Folge (x_n) ist also nach oben durch 3/2 beschränkt 

b)  

x_n+1 - x_n  = x_n / 3 + 1 - x_n  =  - 2/3 x_n + 1  >_#  0

       # denn  - 2/3 x_n + 1  >  0  ⇔  2/3 x_n < 1  ⇔  x_n < 3/2   (vgl. a))

→   (x_n)  ist  streng monoton steigend

c) 

Da jede streng monoton steigende Folge (b), die nach oben beschränkt ist (a), einen Grenzwert hat, ist (x_n)  konvergent. 

d)  

Für einen GW a  muss - wenn er existiert - ggf. gelten:

    a = a/3 + 1  →  2/3 a = 1  →  a = 3/2   

   Also:  $$   \lim\limits_{x\to\infty} x_n  =  3/2$$ Gruß Wolfgang

Comments

Dankeschön Wolfgang ! Jetzt habe ich es kappiert

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Freut mich!

Immer wieder gern :-)