Man könnte es auch so darstellen (was die Sache aber auch nicht einfacher macht, denn lästige Rechnungen habe ich weggelassen :-)):
Die Füllstandsmenge (Stammfunktion F von z mit z(0) = 0) ist:
F(t)={t5/5−3 · t4+12 · t3t5/5−3 · t4+12 · t3−5 · (t−4)0≤t≤44<t≤6
F ist in t=4 stetig, aber nicht differenzierber.
Die Funktionsvorschrift der Ableitung in [0,6] \ {4} ist
F′(t)={t4−12 · t3+36 · t2t4−12 · t3+36 · t2−50≤t<44<t≤6
mit den Nullstellen
t1 = 0 ; t2 = √(√(5 +9) + 3 ≈ 5,601
t2 kann man auch näherungsweise (z.B. Newtonverfahren # ) berechnen, denn die Berechnung des genauen Wertes ist ohne Rechner nicht unlästig :-)
F"(t) = 4·t3 - 36·t2 + 72·t
→ F"(t2) ≈ - 23 < 0 → Maximum bei t = 5,601 [h] mit 250,5 Litern
[ An den Randstellen t=4 (204,8 l) und t=6 (249,2 l) sind es weniger]
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# Newtonverfahren für F '(x) = x4 - 12·x3 + 36·x2 - 5 = 0
xneu=xalt−f′(xalt)f(xaltmit dem naheliegenden Startwert 5 aus ] 4,6 ] hat man x ≈ 5,6 schon nach 2 Schritten!
