Gauß-Algorithmus: Rang von A und Kern von A bestimmen

Question

Berechnen Sie zur Matrix
A =

−3 9 14 29 −30
−1 3 −2 7 −2
2 −6 −6 −18 16
5 −15 15 −33 4   ∈ Mat4×5(Q)
mit dem Gauß-Algorithmus rank(A) ≥ 0 sowie eine Basis von Ker(A) ⊂ Q5

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Vom Duplikat:

Titel: Gauß-Algorithmus matrix

Stichworte: matrix

Berechnen Sie zur Matrix

 

mit dem Gauß-Algorithmus rank(A) ≥ 0 sowie eine Basis von Ker(A) ⊂ Q5
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Vgl. https://www.mathelounge.de/594781/gauss-algorithmus-matrix?show=5949…

Answer 1

Hallo Chiwi,

ich gehe davon aus, dass Du grundsätzlich weißt, wie Gauß-Algorithmus funktioniert. Es ergibt sich: $$\begin{pmatrix}-3& 9& 14& 29& -30\\ -1& 3& -2& 7& -2\\ 2& -6& -6& -18& 16\\ 5& -15& 15& -33& 4\end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}1& -3& -14/3& -29/3& 10\\ 0& 0& -20/3& -8/3& 8\\ 0& 0& 10/3& 4/3& -4\\ 0& 0& 115/3& 46/3& -46\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}1& -3& 0& -7.8& 4.4\\ 0& 0& 1& 0.4& -1.2\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{pmatrix}$$ Es bleiben 2 nicht-0-Zeilen übrig, somit hat die Matrix $A$ den Rang 2. Um den Kern zu bestimmen, betrachte ich zunächst nur die zweite Zeile: $$x_3 + 0,4x_4 - 1,2x_5 = 0 \\ \quad \implies x_4=-2,5x_3 + 3x_5$$ D.h. mit Vorgabe von $x_3$ und  $x_5$ legt man $x_4$ fest. Und aus der erste Zeile folgt: $$x_1 -3x_2 - 7,8x_4 + 4,4x_5 = 0 \\ \begin{aligned}\quad \implies x_1 &= 3x_2 +7,8(-2,5x_3 + 3x_5) -4,4 x_5 \\ &= 3x_2 -19,5x_3 +19x_5\end{aligned}$$ich setze nun $x_2=r$, $x_3=s$ und $x_5=t$, dann kann man für den Kern schreiben: $$\ker(A)= r\begin{pmatrix} 3\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -19,5\\ 0\\ 1\\ -2,5\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 19\\ 0\\ 0\\ 3\\ 1\end{pmatrix}$$Diese drei Vektoren bilden dann auch eine Basis des Kerns von $A$.

Sollte Dir einer der Schritte nicht klar sein, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

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vielen danke Werner

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wie bist du auf die vektoren am ende gekommen wo du den kern bestimmt hast

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Ich schrieb: $$x_4=-2,5x_3 + 3x_5 \\ x_1 = 3x_2 -19,5x_3 +19x_5$$

wie bist du auf die Vektoren am Ende gekommen, wo du den Kern bestimmt hast

... mit Hilfe einer der wichtigsten Eigenschaften, die man in der Mathematik beherrschen muss: 'richtiges Abschreiben': $$\begin{array}{rrrrrr} x_1= & 3\,x_2 &+ &-19,5\,x_3 &+& 19\,x_5 \\ x_2= & 1\,x_2 &+& \color{grey}{0\,x_3} &+&\color{grey}{0\,x_5}\\ x_3=& \color{grey}{0\,x_2}&+& 1\,x_3 &+&\color{grey}{0\,x_5}\\ x_4 =& \color{grey}{0\,x_2} &+&- 2,5\,x_3 &+& 3\,x_5 \\ x_5=& \color{grey}{0\,x_2} &+& \color{grey}{0\,x_3} &+& 1\,x_5\end{array}$$ ... und sauberes Anordnen.