ich soll den Grenzwert von (√(x+2) - 2 )/ (3√(x+6) - 2) berechnen. Kann mir bitte jemand dabei helfen ?
EDIT: Es geht um \(\lim\limits_{x\to2}\)
Stimmt die Aufgabe so ? Soll x gegen 0 oder ∞ gehen, oder gegen was ?
Ich denke du meinst \(\dfrac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt[3]{x+6}-2}\). Jetzt bleibt aber noch die Frage offen, zu welchem Wert dein x konvergieren soll.
Mein x soll gegen den Wert 2 konvergieren
für x→0 ist der Grenzwert ≈3,2
für x→-2 ist der Grenzwert ≈4,8
für x→∞ ist der Grenzwert ∞
Wie kann man den Grenzwert gegen unendlich hier zeigen?
Zeige wann \(\sqrt[3]{x+6}-2 < \sqrt{x+2}-2\) gilt. Das gilt für alle \(\{x∈ℝ | x>2\}\).
Das heißt, dass der Term im Zähler schneller wächst, als derjenige, der im Nenner steht. Daraus folgt letztendlich das, was Roland skizziert hat.
Für sehr große Zahlen x genügt die Betrachtung des Bruches √x/(x1/3)=x1/6.
Danke euch beiden. Ich habs verstanden. :)
Noch eine Frage: Wie könnte man den Nenner rational machen?
"Noch eine Frage: Wie könnte man den Nenner rational machen?"
Unter Nutzung der Beziehung
a³-b³=(a²+ab+b²)(a-b)
Wenn ein Nenner also die Form a-b hat, dann hat er nach dem Erweitern mit
(a²+ab+b²) die Form a³-b³, und damit bekommt man dritten Wurzeln aus dem Nenner.
Danke, aber sehr angenehm ist das in diesem Fall wohl nicht. :)
verwende die Regel von L'Hospital:$$\lim\limits_{x\to2}\frac{\frac{\text{d}}{\text{dx}}\left(\sqrt{x+2}-2\right)}{\frac{\text{d}}{\text{dx}}\left(\sqrt[3]{x+6}-2\right)}$$$$\lim\limits_{x\to2}\frac{\frac{1}{2\sqrt{x+2}}}{\frac{1}{3\sqrt[3]{(x+6)^2}}}$$$$\lim\limits_{x\to2}\frac{3\sqrt[3]{(x+6)^2}}{2\sqrt{x+2}}$$$$=\frac{3\sqrt[3]{(2+6)^2}}{2\sqrt{2+2}}=3$$
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