a) In welcher Restklasse liegt x+y? b) In welcher Restklasse liegt x•y?

Question

kann mir jemand hierbei helfen?

Es seien m∈ℕ und a,b ∈ℤ

Es liege x in der Restklasse von a modulo m, und y in der Restklasse von b modulo m.

a) In welcher Restklasse liegt x+y? Geben Sie eine Begründung und ein Zahlenbeispiel an.

b) In welcher Restklasse liegt x•y? Geben Sie eine Begründung und ein Zahlenbeispiel an.

Answer 1

Es liege x in der Restklasse von a modulo m

Dann ist

        x = m·n_x + a

für ein n_x ∈ ℤ.

und y in der Restklasse von b modulo m

Dann ist

        y = m·n_y + b

für ein n_y ∈ ℤ.

Also ist

        x + y = (m·n_x + a) + (m·n_y + b) = m·(n_x + n_y) + (a+b)

und

        x · y = (m·n_x + a) · (m·n_y + b) = m·(mn_xn_y + an_y + bn_x) + (a·b).

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Vielen Dank!

Answer 2

a) In welcher Restklasse liegt x+y? Geben Sie eine Begründung und ein Zahlenbeispiel an.

Die Kongruenzrelation Zeigt hinsichtlich der Grundrechenarten + und · die gleichen Regeln, wie die Gleichheit.

x ≡ a mod m

y ≡ b mod m

__________

x+y≡a+b mod m

Zahlenbeispiel:

13 ≡ 6 mod 7

24 ≡ 3 mod 7

___________

37 ≡ 9 mod 7

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Vielen Dank!

Answer 3

a) In welcher Restklasse liegt x+y? Geben Sie eine Begründung und ein Zahlenbeispiel an.

Das liegt in der Restklasse von x+y.

Also z.B.    13 liegt in der Restklasse von 3 Modulo 10

und  18  liegt in der Restklasse von  8 Modulo 10

Dann liegt 18+13 = 31  in der

gleichen Restklasse wie     3+8=11 nämlich

beide sind kongruent 1 Modulo 10.

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Vielen Dank!