Konvergenz von Reihe

Question

Aufgabe:   Konvergieren die Reihen?

$$ \sum\limits_{n=0}^{\infty}{(\frac{n+2}{n^3+2})} $$

$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}{(\frac{n-7}{n^2+2n})} $$

Problem/Ansatz:

Das Quotientenkriterium versagt bei beiden aufgaben ( es kommt 1 raus).

Ich finde einfach keine passenden reihen welche konvergieren/divergieren um die obigen reihen abzuschätzen.

Ich stehe stehe wirklich auf dem schlauch, hat jemand vielleicht eine idee bzw. könnte mir einen tipp geben?

Answer 1

$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(\frac{n+2}{n^3+2})}$$

Finde eine passende Majorante die konvergiert.

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(\frac{n-7}{n^2+2n})}$$

Finde eine passende Minorante die divergiert.

Answer 2

Mache beim ersten Term den Nenner kleiner, indem du die +2 weglässt. Das macht den Bruch größer.

Vergrößere den Bruch noch weiter, indem du den Zähler n+2 durch 2n  ersetzt.

So bekommst du eine konvergente Majorante.