Sei f : R3 -> R2 die lineare Abbildung. Bestimmen Sie eine Basis B des R3.

Question

Aufgabe:

Sei f : R3 -> R2 die lineare Abbildung

$$f \left( \begin{array} { l } { x } \\ { y } \\ { z } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { x - 2 y - z } \\ { x - y } \end{array} \right)$$

und C die Basis (1 2) , (2 3) des R2. Bestimmen Sie eine Basis B des R3, sodass

$$C M _ { B } ( f ) = \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right)$$

Answer 1

Die Spalten der gegebenen Matrix sind die Koordinaten zur

Darstellung der Bilder der Basisvektoren von B mittels der Basis C.

Also sagt die erste Spalte

f(b1) = 1* (1;2)  +   0*( 2 ; 3 )  =  ( 1 ;  2 )

also gilt für den 1. Basisvektor von B

                x  -2y  - z  =  1  und
                       x - y   =  2

Offenbar gibt es hier  viele Lösungen, Nehmen wie mal y= 1

dann ist x=3 und z=0 . Also der erst Basisvektor von  B ist dann

3
1
0

Entsprechend bekommst du für den 2. und 3. Basisvektor von

B zum Beispiel (auch da kann man ja was frei wählen)

2
1
-1

und

1
1
-1

Damit hast du eine Möglichkeit für die Basis B.

Machen wir vorsichtshalber mal ne Probe:

Wenn man jetzt einen Vektor mit der Basis B darstellt, etwa

1/b1 + 1*b2 + 2*b3 dann ist das bzgl der Standardbasis

7
4
-3

und bzgl. der Basis B

1
1
2

Und jetzt die Matrix _CM_B(f) mal diesen, dann gibt das

0
1

Und das  bedeutet (weil es ja bzgl. C ist)

0* (1 2) + 1*(2 3)  = ( 2  3 ) bzw.    2
                                                      3

Wenn man andererseits  die

7
4
-3

in die Funktionsgleichung einsetzt, gibt es

7-8+3 =  2   und
7-4     = 3   .

Das passt also.