x1 und x2 bezeichnen die eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren A und B.

Question

Die Produktionsfunktion eines Unternehmens laute

F(x1,x2)=2x1²+75x1x2+2x2²

wobei x1und x2 die eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren A und B bezeichnen. Die Kosten der Produktionsfaktoren betragen pro Mengeneinheit 63 bzw. 79 Geldeinheiten. Vom Endprodukt sollen 5380 Mengeneinheiten gefertigt werden. Für die Produktionskosten in Abhängigkeit von den eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren A und B existiert unter dieser Nebenbedingung im ersten Quadranten genau eine lokale Extremstelle. Markieren Sie die korrekten Aussagen.

a. Bei einem Output von 5380 ME werden bei einer Menge von x1=9.35 die Kosten minimal.

b. Bei einem Output von 5380 ME werden bei einer Menge von x2=14.25 die Kosten minimal.

c. Der Lagrange-Multiplikator im Kostenminimum beträgt λ=0.32.

d. Das kostenminimale Faktoreinsatzverhältnis der beiden Produktionsfaktoren beträgt x1/x2=1.29.

e. Im Optimum betragen die Produktionskosten C(x1,x2)=1163.53.

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Kontroll-Lösung

https://www.wolframalpha.com/input/?i=min+63x%2B79y+with+2x%5E2%2B75xy%2B2y%5E2%3D5380,x%3E%3D0,y%3E%3D0

min{63 x + 79 y|2 x^2 + 75 x y + 2 y^2 = 5380 ∧ x>=0 ∧ y>=0}≈1163.53 at (x, y)≈(9.35326, 7.26926)

Comments

Vielen lieben Dank für die Antwort!

d.h. die Antwortmöglichkeiten a. & e. sind richtig und b. ist falsch - richtig?

Könntest du mir bitte noch mit dem Lagrange-Multiplikator und dem Faktoreinsatzverhältnis helfen? Ich hab mir schon die Lösungen anderer, ähnlicher Aufgaben angesehen, komm aber leider nicht drauf.

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Dann stell du doch mal die Lagrange-Funktion auf.

Und wenn du es schaffst bildest du auch schon die partiellen Ableitungen nach x1 und x2.