Parameteraufgaben Integralrechnung

Question

Aufgabe:

Gegeben ist f_a(x) = x³ - a²x, a > 0. Wie muss a gewählt werden, damit die beiden von f_a und der  x-Achse eingeschlossenen Flächen jeweils den Inhalt 4 haben?

Problem/Ansatz:

Ich finde keinen Ansatz.

Answer 1

Hey der Ansatz ist:

Du hast:

$$ f(x) = x^3 - a^2·x = 0 $$

das integrieren ergibt:

$$ F(x) = 0.25·x^4 - 0.5·a^2·x^2 $$

$$ \int \limits_{0}^{a} \left(x^3-a^2\cdot x\right){\mathrm{d}x} = F(a) = 4 $$

$$ 0.25a^4 - 0.5a^2a^2 = -4 $$

$$ a = 2 $$

bzw. $$ a = -2 $$

Da a aber a > 0 muss a = 2 sein :)

Fertig!

Answer 2

 
zuerst die Stammfunktion bilden:

\(F_a(x)=\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{a^2x^2}{2}+C\)

Da die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft reicht es, wenn wir uns eine Seite angucken.

Also ist unsere Frage jetzt:

\({\Large\int }_0^{b} f(x)=4\) bzw. \({\Large\int }_0^{a} f(x)=4\) , da für die Nullstellen gilt \(x=\pm a\). Da für null die gesamte Funktion null wird, gilt: \(F_a(a)-F_a(0)=F_a(a)\)

Also setzen wir die Funktion =4:

\(\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{a^2x^2}{2}=4 \rightarrow a=- \dfrac{a^4}{4}=4 \Rightarrow L=\{\}\)

Also gibt es hierfür keine reelle Lösung.

Probieren wir es mit -4:

\(\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{a^2x^2}{2}=-4 \rightarrow a=\pm 2\) (negative Lösung entfällt)