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Aufgabe:

Gegeben ist für jede Zahl a ≥ 0 die Funktion fa. Berechne Sie die Schnittpunkte mit den Achsen sowie die Hoch- und Tiefpunkte in Abhängigkeit von a.

a) fa(x)=x3-a•x        b) fa(x)=x2-a•x-1


Problem/Ansatz:

Ich lerne für meine Matheklassenarbeit und bräuchte Hilfe bei diesen Aufgaben .

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a)

Nullstellen:fa(x)=x3ax=!0f_a(x)=x^3-ax\overset{!}=0 Nullproduktsatz:x3ax=0x(x2a)=0x^3-ax=0 \quad \Longleftrightarrow \quad x(x^2-a)=0 Die Nullstellen sind demnach x1=0x2,3=±ax_{1}=0 \quad \vee \quad x_{2,3}=\pm a

Extremstellen:fa(x)=3x2a=!0f_a'(x)=3x^2-a\overset{!}=03x2=a3x^2=ax2=13ax^2=\frac{1}{3}ax1,2=±a3x_{1,2}=\pm\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{3}} fa(x)=6xf_a''(x)=6x D. h., dass die negative Lösung von fa(x)=0f_a'(x)=0 ein Maximum ist und die positive Lösung von fa(x)=0f_a'(x)=0 ein Minimum!

Die b) kannst Du ja einmal selbst versuchen!

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fa(x)=x3-a•x     Erst mal a>0

Schnitt mit x-Achse      x3-a•x      =  0

                                     x*(x2 - a ) = 0

                                x=0  oder   x=√a    oder  x =  -√a

Schnitt mit y-Achse   (0;0).

Extrempunkte     f ' (x) = 3x2 - a = 0

                                          x2 = a/3

                                            x = ±√(a/3 )

f ' ' (x) = 3x  also ist f ' ' (√(a/3) ) > 0 , also Tiefpunkt bei (√(a/3) / fa(√(a/3)).

an der anderen Stelle entsprechend Hochpunkt.

Für a=0 ist es einfach nur x3 . Also Achsenschnittpunkte bei (0;0) und

keine Extrempunkte.



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a) fa ( x ) = x3 -a * x
Nullstelle
x3 -a * x = 0
ausklammern
x * ( x2 - a ) = 0
Satz vom Nullprodukt
x = 0
und
x2 - a = 0
x2 = a
x = ± √ a

Schnittpunkt mit der y-Achse
fa ( x ) = x3 -a * x
fa ( 0 ) = 03 -a * 0 = 0
( 0 | 0 )

Stellen mit waagerechter Tangente
1.Ableitung
fa ´( x ) = 3 * x2 - a
3 * x2 - a = 0
3 * x2 = a
x2 = a/3
x = ± √ (a/3)

y_wert
fa ( x ) = x3 -a * x
fa = ( √ (a/3) ) = √ (a/3)3 -a * √ (a/3)
( √ (a/3) | √ (a/3)3 -a * √ (a/3) )

(  - √ (a/3) | (-√ (a/3))3 -a * - √ (a/3) )
(  - √ (a/3) | (-√ (a/3))3 + a * √ (a/3) )

2.Ableitung
fa ´´( x ) = 6 * x
Die Krümmung am ersten Punkt ist positiv. Tiefpunkt
Die Krümmung am zweiten Punkt ist negativ. Hochpunkt

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