Die Aufgabe lautet:
Untersuchen Sie folgenden Funktionen auf Stetigkeit, gleichmäßige Stetigkeit und Lipschitz-Stetigkeit:
a) g(x) = x^2 mit g : [0, 1] → R
b) h(x) = m · x + b mit m, b ∈ R
Bisher habe ich so gemacht:
a) Sei ε> 0 beliebig, wähle δ := ε/2, so dass ∀x,y ∈ [0,1] mit |x-y|<δ gilt:
|g(x)-g(y)|= |x^2-y^2| = |x-y||x+y| < δ |x+y|
Da x≤1 und y≤1 folgt dass |x+y|<2
Also: |x-y||x+y|< 2δ = 2 * ε/2 = ε
Nach dem ε-δ Kriterium ist g gleichmäßig stetig, also auch stetig.
Richtig?
b) Sei ε> 0 beliebig, wähle δ := ε/|m|, so dass ∀x,y ∈ R mit |x-y|<δ gilt:
|h(x)-h(y)| = |(mx+b)-(my+b) | = |m| |x-y| < |m| δ := ε
Nach dem ε-δ Kriterium ist g gleichmäßig stetig, also auch stetig.
Richtig?
Wie kann ich jetzt die Lipschitz-Stetigkeit für beide a) und b) beweisen?
Vielen Dank im Voraus
