Aufgabe:
Vermittlungsknoten ist mit Wahrscheinlichkeit p(t) zu Zeitpunkt t >= 0 frei
μ konstante Vermittlungsrate
λ konstante Rate von Vermittlungsanforderungen
p'(t) = - λ p(t) + μ (1-p(t))
a) allgemeine Lösung DGL
b) unter Annahme Zeitpunkt t = 0 (Vermittlungsknoten frei) soll Anfangsbedingung ermitteln werden und stationäre Wahrscheinlichkeit p dafür das Knoten frei ist p=\( \lim\limits_{x\to\infty} \)p(t)
c) unter Annahme Zeitpunkt t=0 (Vermittlungsknoten besetzt) soll Anfangsbedingung ermittelt werden und die Wahrscheinlichkeit das der Knoten bei λ=50km/h, μ=200/h und t=30s frei ist
Problem/Ansatz:
a) allgemeine Lösung DGL
\( \int\limits_{}^{} \) dp / (-λ p + μ (1-p)) = \( \int\limits_{}^{} \) 1 dt
... nach einigen Schritten komme ich zu folgendem Zwischenergebnis
- (ln |λ p - μ (1-p) |) / (λ-μ) + C1 = t + C2
... hier weiß ich nicht genau weiter, laut Wolfram Alpha muss das Ergebnis wie folgt lauten
p(t) = C * e^(-t*λ-t*μ) + μ / (λ + μ)
b + c ) keine genaue Vorstellung wie die Anfangsbedingungen und Wahrscheinlichkeiten errechnet werden ... da bräuchte ich auch eine Hilfestellung
Würde mich über jede hilfreiche Antwort sehr freuen!
