0 Daumen
174 Aufrufe

Aufgabe:

Ein Motorboot hat 4 Motoren. Laut Hersteller soll jeder Motor das Boot um 10 km/h beschleunigen. In der Praxis beschleunigt Motor 1 das Boot um/auf 9,88 km/h. Die Zuschaltung von Motor 2 bringt weitere 9,74 km/h, also eine Geschwindigkeit von 9,88+9,74=19,62 km/h (statt der angeblichen 20 km/h). Motor 3 bringt weitere 9,56 km/h.

Problem/Ansatz:

Wie berechne ich nun den Geschwindigkeitszuwachs, wenn ich Motor 4 noch dazuschalte?

von

2 Antworten

+2 Daumen

--- Rechnung falsch, siehe Kommentar ---

von 6,8 k

Vielen lieben Dank, ich muss allerdings gestehen, dass ich nur popliger Realschüler war und in Mathe eine 4 hatte. Bei f(x) ist x in dem Fall 3 bzw. was ist das x hinter den 9,74?

Eine Variable für die du alle möglichen Zahlenwerte einsetzen kannst. 
Bei x=1 kommt also 9.88 raus, denn \(9.74 \cdot 1 +0.14 = 9.74+0.14=9.88\)

Ok, aber müsste bei etwas "linearem" die Abnahme des Geschwindigkeitszuwachses nicht immer gleich sein? Das ist hier ja nicht der Fall. Oder habe ich einen Denkfehler drin?

Da, stimmt, da hab ich was falsch abgelesen .. 
Wir könnten es mit einer quadratischen Gleichung versuchen, wenn wir den 3. Punkt dazunehmen f(3)=29.18
Damit erhalten wir \(f(x)=-0.09x^2 + 10.01x - 0.04\)

Und für f(4) 38.56
Die Parabel hat allerdings bei ca. 55 Motoren ein Maximum, also danach nimmt der Wert ab, deshalb würde ich auf meine Antwort nicht 100% vertrauen.

Ok, ich fange an zu verstehen. Nur das x ist mir noch nicht ganz klar. Also was ich da genau im Taschenrechner eintippe ...

Statt dem x den dazugehörigen Wert. Z.B. bei f(x)=x^2 für f(4) wäre das 4^2

Perfekt! Es stimmt :) Eigentlich ging es um den 5. Motor, hab den 4. nur zur Selbstkontrolle offen gelassen. Beim 4. Motor ist der gegebene Wert 9,34. Das Ergebnis an der Stelle ist 38,52. Aber das ist schon nah dran. Deine Formel wird also richtig sein.

Vielen lieben Dank!

Aber für die anderen Werte ist er exakt .. ich weiß ja nicht.. vielleicht schreibt hier jemand morgen noch das *vermeintlich* richtige Ergebnis rein

Wenn ich wüsste, wie du auf die 0,09 und 10,01 und 0,04 kommst, würde ich mir auch selbst nochmal Gedanken darüber machen. Ich will es ja am Ende auch verstehen und nicht nur vorgekaute Ergebnisse :)

Quadratische Funktion (\(ax^2+bx+c\)) lässt sich durch 3 Punkte aufstellen:

\(f(1)=9.88 \rightarrow a\cdot 1^2+b\cdot 1 + c=9.88 \Leftrightarrow a+b+c=9.88
\\f(2)=19.62 \rightarrow a\cdot 2^2+b\cdot 2 + c=19.62 \Leftrightarrow 4a+2b+c=19.62
\\f(3)=29.18 \rightarrow a\cdot 3^2+b\cdot 3 + c=29.18 \Leftrightarrow 9a+3b+c=29.18\)

Lineares Gleichungssystem mit 3 Unbekannten -> z.B. Gaußverfahren:
$$ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 9.88 \\ 4& 2 & 1 & 19.62 \\ 9& 3 & 1 & 29.18 \\ \end{array} \right) \\ \Rightarrow a\approx -0.09,\: b\approx 10.01,\: c\approx -0.04  $$
Wie gesagt, meine Mühe wird wahrs. trotzdem umsonst sein.

+1 Punkt

Hallo,

Wie berechne ich nun den Geschwindigkeitszuwachs, wenn ich Motor 4 noch dazuschalte?

dies kommt darauf an, welches (physikalische!) Modell man dafür zu Grunde legt. Oder - anders ausgedrückt: was für ein Thema nehmt Ihr gerade durch?

Die Angabe des Herstellers ist, dass mit jedem zusätzlichen Motor das Boot um einen konstanten Betrag \(k\) schneller wird. D.h. die zu erreichende Geschwindigkeit \(v\) des Bootes soll sich proportional zur Anzahl \(x\) der Motoren verhalten: $$v = k \cdot x$$ Der Hersteller gibt für das \(k\) einen Wert von 10km/h an: \(v = 10 \mbox{km/h} \cdot x\). Nun stellt sich heraus, dass beides nicht ganz stimmt. Zum einem ist der Wert für \(k\) kleiner als 10km/h und \(k\) selbst wird kleiner mit wachsender Geschwindigkeit; ist also nicht konstant.

Betrachte zunächst die Werte selber. Ein Boot mit 9,88km/h legt in einer Stunde 9880m zurück. Ein Boot mit 9,89km/h dagegen 9890m. Das zweite Boot kommt nach einer ganzen Stunde Fahrt durch Wind, Wellen und ggf. Strömung nur 10m weiter. Vielleicht wiegt der Fahrer 10kg weniger? Du siehst jetzt vielleicht, dass die letzte Stelle bei der Geschwindigkeitsangabe mit Vorsicht zu genießen ist. Wenn man davon ausgeht, dass diese Werte Messwerte mit einer gewissen Ungenauigkeit sind, könnte man doch einen Wert für \(k\) errechnen, bei dem der mittlere Fehler zu den Messwerten möglichst klein ist.

Das nennt man eine Regressionsanalyse. Wichtig ist dabei, dass man ein Modell vorgibt. Das Modell ist hier die Annahme, dass die Geschwindigkeit propotional zur Anzahl der Motoren ist (siehe Formel \(v=k \cdot x\) oben). Der 'optimale' Wert für \(k\) soll der sein, bei dem die Summe aller Quadrate der Fehler möglichst klein wird. Und dafür gibt es eine Formel: $$k_{opt} = \frac{\sum x_i v_i}{\sum x_i^2} = \frac{(1\cdot 9,88 + 2\cdot 19,62 + 3\cdot 29,18)\mbox{km/h}}{1^2+2^2+3^3} \approx 9,76 \mbox{km/h}$$ Damit wäre das Boot mit 4 Motoren etwa \(v(4)=39,05\mbox{km/h}\) schnell. Und der größte Fehler läge bei \(v(1)=9,76\mbox{km/h}\) statt \(9,88\mbox{km/h}\) - also etwa 1,2%.


Betrachtet man das Modell selber, also die Annahme dass \(k\) konstant ist, so kommt man schnell darauf, dass dies von der Physik her nicht passen kann. Ein Auto mit 50PS und einer Höchstgeschwindigkeit von 120km/h schafft keine 240km/h, wenn man es mit einem 100PS starken Motor ausrüstet. Das liegt schlicht daran, dass der (Luft-)Widerstand mit wachsender Geschwindigkeit nicht konstant ist, sondern zunimmt. Beim Luftwiderstand ist die Zunahme sogar quadratisch.

Um dies zu berücksichtigen kann man das Modell erweitern zu: $$v = k \cdot x^e$$ bei einer linearen Zunahme des Widerstands wäre \(e=1/2\). Dafür gibt es auch Formeln, die aber komplizierter sind, als beim linearen Ansatz. Nur soviel: eine gute Näherung ist: $$v = 9,887 \mbox{km/h} \cdot x^{0,9862}$$ Damit wäre \(v(4)=38,80\mbox{km/h}\) und der größte Fehler läge bei \(v(2)=19,59\mbox{km/h}\) statt \(19,62\mbox{km/h}\) - also nur bei ca. 0,2%.


Ein Modell bei dem alle Messwerte exakt sind und die Geschwindkigkeit ein Polynom 3'ter oder 4'ter Ordung ist, macht physikalisch und praktisch keinen Sinn. Frage bitte nach, wenn irgendwas nicht klar ist, oder Du mehr darüber wissen möchtest.

von 17 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...