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Aufgabe: Sei $$f : [ 0 , \infty ) \rightarrow ( 0 , \infty )$$ stetig und es gelte $$f ( x ) < 1 / x \text { für alle } x > 0.$$

a) Zeigen Sie, dass f ein Maximum $$f _ { \max } : = \max _ { x \in [ 0 , \infty ) } f ( x )$$ hat.

b) Begründen Sie, dass gilt $$f ( [ 0 , \infty ) ) = \left( 0 , f _ { m a x } \right].$$

vor von

Was steht denn in deinen Unterlagen?

Hast du gar keinen Ansatz?

Ich kann mal schauen :)

2 Antworten

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Beste Antwort

a)  Wir zeigen \(f([0,\infty)) \) ist eine nicht leere nach oben beschränkte Menge, somit existiert das Supremum.
f ist stetig in 0, also für \(\epsilon=1 \) gibt es \( \delta>0\) mit \(|f(0)-f(x)|<1 \) für alle \( x \) mit \( |x|<\delta\).
Ist \( x\in [\delta,\infty)\), dann gilt \( f(x)<1/x\leq1/\delta\).
Ist \(x \in [0,\delta) \), dann ist aufgrund der Umgekehrten Dreiecksunglechung
\(1>|f(0)-f(x)|\geq f(x)-f(0) \)
\(1+f(0)\geq f(x) \)

Also existiert \(f_{sup} \in (0,\infty)\). Nach Definition gibt es Folge \( (x_n)_n \) in \(  [0,\infty)\) mit 
\( f(x_n)\to f_{sup} \)
Wir zeigen nun, dass \( (x_n)\) beschränkt ist und damit konvergente Teilfolge besitzt. Andernfalls wäre
\( x_n \to \infty \), aber dann \( 0< f(x_n)<1/x_n \) für genug große \( n \), daher 
\( f(x_n)\to 0 = f_{sup} \notin (0,\infty)\). Widerspruch.

Sei nun \( (x_{n_k})\) die Teilfoge mit \( x_{n_k}\to y \in (0,\infty)\), dann gilt
\(f(y)=\lim_{k\to \infty} f(x_{n_k})=f_{sup} \)
Somit \( f_\sup \in f([0,\infty)\), qed.

b) \("\subseteq" \) hoffe ist klar.
\( "\supseteq" \) Sei \( y \in (0,f_{max}]\) und ohne Einschränkung \( y\neq f_\max\) (sonst ist klar). Sei \( m \in [0,\infty) \) die Zahl,  für die das Maximum angenommen wird: \( f(m)=f_\max\).
Wir müssen zeigen, dass es ein \( x \in [0,\infty)\) gibt mit \(f(x)=y \).
(Intuition: ähnlich wie Mittelwertsatz, aber hier ist Intervall nicht abgeschlossen)
Wir zeigen es gibt  ein \( a\in [0,\infty)\) mit \(f(a)<y \). In der Tat für \(a=1/y \)
\( f(1/y)<1/(1/y)=y\)
Und insgesamt
\(f(a)<y<f(m) \)
Anwendung des MIttelwertsatzes auf die Einschränkung von \( f\) auf \( [a,m]\) liefert ein \( x \in [a,m]\)
 mit \( f(x)=y\)

Bitte frag, falls etwas nicht klar ist:)

vor von

Muss es nochmal genauer überdenken.

Wenn ich fragen habe,schreibe ich Ihnen.

Danke für die Antwort :)

Sorry, bei der b) war logischer Fehler; jetzt hoffe  ist richtig :)
Viel Erfolg!

Vielen Dank!

Kannst du mir bei 2.a den Schritt mit der umgekehrten Dreiecksungleichung erklären und

die Teilaufgabe 2.b etwas kleinschrittiger.

Der erste Teil ist noch verständlich aber beim Rest blicke ich nicht ganz durch.

Mit freundlichen Grüßen Brook :)

Die umgekehrte Ungleichung braucht man eigentlich nicht, denn es ist ja $$|f(0)-f(x)|=|f(x)-f(0)|\geq f(x)-f(0)$$ nach Definition des Betrags.
Was ist genau bei b) nicht klar?

Nachdem was du zeigen willst.

Danke für die schnelle Antwort :)

0 Daumen

Nimm einmal an, x=10-n für n∈ℕ. Dann ist 1/x=10n und wächst damit für geeignete n über alle Grenzen. Selbst ein Wert f(x), der ja kleiner sein soll als 1/x ist dann beliebig groß. Wie soll es denn da ein Maximum der Funktionswerte geben?

vor von 49 k

Selbst ein Wert f(x), ... ist dann beliebig groß.

Das wirst du kaum beweisen können.

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