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Aufgabe:

Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:

limx1 \lim\limits_{x\to1} (ln(x2-1)*sin(1-x))




Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich das oben umformen soll damit ich auf das Ergebnis 0 komme. Bitte um Lösungsschritte. oder muss ich da einfach 1 einsetzen dann ist ja alles 0?

Danke

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es gilt limx[f(x)g(x)]=limxf(x)limxg(x)\lim_{x\to\infty}\left[f(x) \cdot g(x)\right] = \lim_{x\to\infty}f(x) \cdot \lim_{x\to\infty}g(x) Bestimme die Grenzwerte also unabhängig voneinander:limx1sin(1x)=sin(11)=0\lim\limits_{x\to1}\sin(1-x)=\sin(1-1)=0 Nun ist es irrelevant, was für limx1ln(x21)\lim\limits_{x\to1}\ln(x^2-1) herauskommt, da du mit 00 multiplizierst. Der Grenzwert ist also =0=0.

Nein, das ist so nicht richtig. Was ist in dem Fall "0·∞". Es handelt sich ja nicht um 0, sondern um einen Wert Nahe 0!

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Hi,

ich würde das hier wohl so umschreiben, dass ich l'Hospital verwenden kann. Dabei kann man ln(x2-1) auch erst vereinfachen, wenn es einem beliebt (ln(x2-1) = ln(x-1)+ln(x+1)) und den letzten Summanden wegen Unwichtigkeit raushauen. Aber mal nach Schema F.


limln(x21)1sin(x1)\lim \frac{\ln(x^2-1)}{\frac{1}{\sin(x-1)}}
Nun haben wir den Fall "0/0" und können l'Hospital anwenden.

lim2xsin2(x1)cos(x1)(x21)\lim\frac{2x\sin^2(x-1)}{\cos(x-1)(x^2-1)}

Bruch splitten, damit man mal aussortieren kann.

2limxcos(x1)sin2(x1)x212\lim\frac{x}{\cos(x-1)}\cdot\frac{\sin^2(x-1)}{x^2-1}
Der erste Faktor stört sich jetzt nicht an x = 1. Er wird zu 1. Für den letzten Faktor, haben wir wieder "0/0", also l'Hospital.

Das überlasse ich jetzt aber dir. Wenn ich mich nicht vertan habe, erhältst Du 2·0 = 0.


Grüße

Avatar von 141 k 🚀
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alternativ:

ln(x2-1)=ln((x+1)(x-1))≈ln(2(x-1))

sin(1-x)≈(1-x)

Damit

sin(1-x)ln(x2-1)≈(1-x)ln(2(x-1)) nahe x=1

Es gilt: jede Potenzfunktion unterdrückt den Logarithmus. Also ergibt sich als Grenzwert 0.

Avatar von 37 k

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