Wie kann ich zeigen: Wenn λ^2 ein Eigenwert von A^2 ist, dann ist der Eigenwert von A λ oder −λ.

Question

Aufgabe:

"Seien A∈M_n(ℝ) und λ∈ℝ so, dass λ^2 ein Eigenwert von A^2 ist. Zeigen Sie, dass λ oder −λ ein Eigenwert von A ist."

Hab keine Idee, wie ich das angehen kann. Bin über jeden Tipp dankbar

Answer 1

λ^2 ein Eigenwert von A^2 heißt:

Es gibt v≠.0 mit     A^2 * v  =  λ^2 * v  und mit der Einheitsmatrix E also

  A^2 * v  =  λ^2*E * v

<=> A^2 * v  -   λ^2*E * v  = 0

<=> ( A^2  -   λ^2*E ) * v  = 0

<=> ( A  -   λ*E ) *( A +  λE ) * v   = 0

Also hat das Matrizenprodukt  ( A  -   λ*E ) *( A +  λE )

den Eigenwert 0, also einen nicht-trivialen Kern.

Dann muss einer der Faktoren auch einen nicht-trivialen Kern

haben; denn das Produkt zweier regulärer Matrizen ist regulär.

Es gibt also ein w≠0 mit

( A  -   λ*E )  * w   = 0  oder      ( A +  λE ) * w  = 0

<=>   Aw  -   λ*E  * w   = 0  oder       A w +  λE* w  = 0

<=>   Aw   =  λ*E  * w   oder       A w =  -  λE* w

Also ist  λ oder - λ ein Eigenwert von A.

Comments

Eine Frage: "Reguläre Matrix" bedeutet, es gibt eine Inverse?

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und auch:  Der Kern besteht nur aus dem Nullvektor (trivialer Kern)

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Perfekt. Danke :)