Aufgabe:
$$ A :=\left( \begin{array}{cccc}{3} & {0} & {4} & {2} \\ {0} & {-3} & {-2} & {1} \\ {0} & {0} & {2} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {-3}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{4,4} $$
(a) Bestimmen Sie det(A) mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes. Begründen
Sie damit, ob Null ein Eigenwert von A ist und welche Bedeutung das für den Kern
hat.
(b) Ist A eine injektive/surjektive/bijektive Abbildung?
(c) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A und geben Sie die algebraische Vielfachheit an.
(d) Bestimmen Sie die geometrische Vielfachheit der Eigenwerte.
(e) Gibt es eine Basis des R^4, die aus Eigenvektoren der Matrix A besteht?
Problem/Ansatz:
ich habe bei diesen Aufgaben ein paar Probleme und werde die Fragen nummerieren,, ich hoffe man kann mir helfen.
a)
Die Determinante lautet 54.
Da det(A) ungleich 0, ist Null kein Eigenwert von A und der Kern besteht somit nur aus dem Nullvektor.
1) Ist das die gesuchte Antwort?
b) Da det(A) ungleich 0 und somit die NZSF von A die Einheitsmatrix ist, also dim(Bild(A)) = Dim(A) und Dim(Kern(A)) = 0,
ist A sowohl injektiv als auch surjektiv und damit bijektiv.
2) Ist das ausreichen oder muss man es anders Begründen?
c)
Die Eigenwerte bestimme ich mittels des charakteristische Polynoms.
$${ p }_{ A }(z)=det(A-z{ I }_{ 3 }=det\left( \left( \begin{array}{ cccc } { 3 } & { 0 } & { 4 } & { 2 } \\ { 0 } & { -3 } & { -2 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { -3 } \end{array} \right) -\left( \begin{array}{ cccc } { z } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { z } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { z } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { z } \end{array} \right) \right) \\ =det\left( \begin{array}{ cccc } { 3-z } & { 0 } & { 4 } & { 2 } \\ { 0 } & { -3-z } & { -2 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 2-z } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { -3-z } \end{array} \right) =λ^{ 4 }+λ^{ 3 }-15λ^{ 2 }-9λ+54\quad =\quad (λ-3)(λ-2)(λ+3)^{ 2 }\\ Und\quad damit\quad lauten\quad die\quad Eigenwerte\quad { λ }_{ 1 }=3,{ λ }_{ 2 }=2,{ λ }_{ 3/4 }=-3\\ Und\quad die\quad algebraische\quad Vielfachheit\quad von\quad { λ }_{ 1 }\quad und\quad { λ }_{ 2 }\quad laute\quad 1\quad \\ und\quad von\quad die\quad von\quad { λ }_{ 3/4 }\quad lautet\quad 2.$$
3) Ist dies so korrekt?
d)
Die geometrische Vielfachheit von λ_1 und λ_2 lautet 1 und die von λ_3/4 lautet 2, denn es gilt ja
geometrische Vielfachheit <=algebraische Vielfachheit.
4) Ist dies so korrekt?
e)
Hier hänge ich im Moment und sehe keine Lösung, wäre nett, wenn mich Jemand auf den richtigen Weg bringen
könnte.
P.S. Ihr müsst nichts nachrechnen, Wolfram kommt auf die selben Ergebnisse, es geht nur darum, ob meine Lösung so passt.
Vielen Dank im Voraus
LG Juliane
