Wie viele Möglichkeiten gibt es n Elemente in Gruppen aufzuteilen?

Question

ich schreibe gerade meine Bachelorarbeit und dabei ist mir folgendes Problem begegnet: Wie viele Möglichkeiten gibt es n Elemente in Gruppen aufzuteilen?

Für n=1 gibt es nur eine Möglichkeit...klar.

Für n=2 gibt es 2 Möglichkeiten: Entweder beide zusammen oder beide alleine.

Für n=3 gibt es 5 Möglichkeiten: Alle Zusammen, alle alleine, oder einer alleine und die anderen 2 zusammen.

Nun ist natürlich die Frage nach einer allgemeinen Formel \(f(n)\). Ich weiß bereits, dass \(n!\) zu schnell steigt...also \( \lim\limits_{n\to\infty}\frac{n!}{f(n)}=\infty \).

Schon mal vielen dank an dieser Stelle

Answer 1

Du meinst mõglicherweise die Anzahl der Partitionen einer Menge mit genau n Elementen. Schau vielleicht mal nach Bellsche Zahl oder auch Folge A000110 in OEIS.

Answer 2

für eine Menge \(M\) mit \(n\)-Elementen gibt es \(|\mathcal{P}(A)| = 2^{|M|}\) Möglichkeiten, die Elemente in Gruppen aufzuteilen, wenn man eine Leere Menge \(\mathbb{L}=\{\}\) auch als Gruppe betrachtet.

Exemplarisches Beispiel:

Gegeben sei die Menge \(M=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\). Die Mächtigkeit dieser Menge ist die Anzahl der einzelnen Elemente, also \(|M|=8\). Die Mächtigkeit der Menge aller Teilmengen ist \(|\mathcal{P}(A)| = 2^{8}=256\)

Je nach Betrachtung, kannst Du nun noch eine Möglichkeit subtrahieren, wenn \(\mathbb{L}=\{\}\) keine Option sein soll.

Comments

Danke für die Antwort. Aber einfach die Anzahl aller Potenzmengen ist nicht die Antwort auf meine Frage. Sieht man schon am Beispiel n=3 in meiner Fragestellung.