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Aufgabe:

Der Assistent kennt die Arbeitsgruppe der Studenten A, B und C schon seit längerem
und weiß, dass Student A 80 %, Student B 15 % und Student C nur 5 % der Aufgaben
bearbeitet, und die Studenten es so organisieren, dass keine Aufgabe doppelt bearbeitet
wird. Auf Grund ihrer unterschiedlichen Erfahrung können sie eine Aufgabe mit einer
Wahrscheinlichkeit von 90 %, 50 % bzw. lediglich 10 % richtig lösen. Der Assistent hat
von der Arbeitsgruppe eine fehlerhafte Lösung bekommen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt sie vom Studenten A, B bzw. C?


Problem/Ansatz:

Ist hier mit bedingten Wahrscheinlichkeiten zu rechnen ? Es steht ja bereits FEST, dass die Abgabe falsch ist.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Lösung fehlerhaft ist, ist bei mir jetzt 20%.

1- [(8/10 * 9/10) + 15/100* 5/10 + 5/100 * 10/100 ] = 20 %

Wäre super, wenn mir diesmal jemand schnell helfen kann.

von

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Wi: Student i hat die Aufgabe bearbeitet (i ∈ {A, B, C}).

K: Die Aufgabe wurde korrekt gelöst.

F: Die Aufgabe wurde fehlerhaft gelöst.

Ist hier mit bedingten Wahrscheinlichkeiten zu rechnen ?

Ja.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt sie vom Studenten A, B bzw. C?

Gesucht ist P(WA | F), P(WB | F) und P(WC | F)

Gegeben ist P(WA) = 80%, P(WB) = 15% und P(WC) = 5% sowie P(K | WA) = 90%, P(K | WB) = 50% und P(K | WC) = 10%.

Formeln:

        P(X | Y) = P(X ∩ Y)/P(Y)

        P(X) = P(X | Y1)·P(Y1) + P(X | Y2)·P(Y2) + ... + P(X | Yn)·P(Yn)

falls die Yi disjunkt sind und deren Vereinigung die Grundmenge ist.

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Aber ich verstehe nicht, wieso man hier auf das Ereignis, dass es falsch ist, noch bedingen muss. Es ist ja nicht so als wollte man die Wahrscheinlichkeit, dass WENN man eine falsche Lösung hat, man dann schauen will von wem sie wohl kommt. Sondern man HAT ja schon eine.

Ein Würfel wird geworfen. Es wurde eine gerade Zahl gewürfelt. Wie groß ist Wahrscheinlichkeit, dass es sich im eine Primzahl handelt?

Die Aufgabe kann man natürlich so lösen, dass die Grundmenge Ω = {2,4,6} ist und das Ereignis "Primzahl" die Menge {2} ist. Wahrscheinlichkeit ist dann \(\frac{|\{2\}|}{|\{2,4,6\}|} = \frac{1}{3}\).

Man kann die Aufgabe aber auch mittels bedingter Wahrscheinlichkeit lösen:

Ω: Grundmenge {1,2,3,4,5,6}

G: Die gewürfelte Zahl ist gerade {2,4,6}

R: Die gewürfelte Zahl ist Primzahl {2,3,5}

\(\begin{align*}P(R | G) =\,& \frac{P(R\cap G)}{P(G)} \\=\,& \frac{\frac{|\{2,3,5\}\cap\{2,4,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}}{\frac{|\{2,4,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}} \\=\,& \frac{|\{2,3,5\}\cap\{2,4,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|} : \frac{|\{2,4,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|} \\=\,& \frac{|\{2,3,5\}\cap\{2,4,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|} \cdot \frac{|\{1,2,3,4,5,6\}|}{|\{2,4,6\}|} \\=\,& \frac{|\{2,3,5\}\cap\{2,4,6\}|}{|\{2,4,6\}|} \\=\,& \frac{|\{2\}|}{|\{2,4,6\}|} \\=\,& \frac{1}{3}\end{align*}\)

Man bekommt nicht nur das gleiche Ergebnis, sondern letztendlich teilt man auch die Anzahlen der gleichen Mengen.

P(R ∩ G) sorgt dafür, dass nicht nur das gewünschte Ereignis eingetreten ist, sondern auch die Bedingung erfüllt ist.

Die Division durch P(G) sorgt dann sozusagen dafür, dass die Bedingung G als neue Grundmenge betrachtet wird.

Wäre dann P (F) immernoch 20% oder muss man das anders berechnen ? Ich brauche ja entweder P(F ) oder P(K) für das Bedingen.

Und wenn ich dann P(W_a | F) ausrechnen will, was ist denn P (W_a∩ F) `? Wären das die 10%, die der Student A falsch macht ?

Wäre dann P (F) immernoch 20%

ja, das hast du korrekt berechnet.

was ist denn P (W_a∩ F) `? Wären das die 10%, die der Student A falsch macht ?

Ja.

Okay, danke! Dann hab ich also eine 50%ige W'keit, dass die falsche Abgabe vom Studenten A stammt Aber beim Studenten B Wäre es ja 50%/20%. Wären also 2.5. Die Warscheinlichkeit kann ja aber nicht 2.5 sein.



Vielen Dank für die tolle Hilfe schonmal!

was ist denn P (W_a∩ F) `? Wären das die 10%, die der Student A falsch macht ?

Ja.

Was hab ich denn da wieder für eine Blödsinn verzapft. Das ist doch glatt gelogen.

Die 10% sind natürlich P(F | WA) (was natürlich aus P(K | WA) = 90% ersichtlich gewesen wäre, wenn wir beide aufgepasst hätten).

Hm... dann versteh ich leider nicht was P (A ∩ F ) ist.

(1)        P(WA | F) = P(WA ∩ F) / P(F)

(2)        P(F | WA) = P(WA ∩ F) / P(WA)

Setze die bekannten Werte in (2) ein und forme nach P(WA ∩ F) um. Setze das Ergebnis in (1) ein.

Also ist P(A ∩F ) = 0.08 oder ?

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