Vektoren (Orthognal, Orthonormal, Orthogonales Kompelement, Span)

Question

Aufgabe:

Es seien drei Vektoren aus R³ gegeben:

v1 = \( \begin{pmatrix} -1\\1\\5 \end{pmatrix} \) , v2 = \( \begin{pmatrix} 3\\-2\\1 \end{pmatrix} \), v3 = \( \begin{pmatrix} 11\\16\\-1 \end{pmatrix} \)

a) Prüfe, ob die Vektoren linear unabhängig sind.

b) Prüfen Sie, ob die Vektoren v1, v2 und v3 orthogonal zueinander sind. Bilden die Vektoren eine Orthonormalbasis des ℝ³ ?

c) Gebe eine Menge von Vektoren an, welche des orthogonale Komplement des Untervektorsraums v = span (v1,v2) ⊂ ℝ³ aufspannen

d) Finde alle Vektoren der Länge 1 des ℝ² welche einen Winkel von genau 60 ° mit dem Vektor u = \( \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix} \) einschließen?

Problem/Ansatz:

a) Easy-peasy-opportuniteasy, LGS aufstellen => jepp, sind linear unabhängig

b) v1, v2 und v3 jeweils miteinander skalarmultiplizieren und gucken, ob da 0 raus kommt => jepp, sind orthogonal zueinander.

Orthonormalbasis. Hier bin ich mir nicht sicher wie Siegfried: Man kann ja Länge der Vektoren berechnen, das wäre für

v1 = 3 \( \sqrt{3} \) , v2 = \( \sqrt{14} \) , v3 = 3 \( \sqrt{42} \)

Da hat jetzt keiner von den Kollegen die Länge 1, d.h. die sind schon mal nicht orthonormal, also auch keine orthonormalbasis, or?

c) LGS aufstellen

< v, u1 > = - v1 + v2 + 5 v3 = 0

< v, u2 > = 3 v1 - 2v2 - v3 = 0

< v, u3 > = 11 v1 + 16 v2 - v3 = 0

=> v1, v2, v3 sind alle drei gleich 0.

Wie lautet jetzt die Menge von Vektoren, die das orthogonale Komplement des Untervektorraums aufspannen? Ist das schon das orthog. Kompl. des UVR? :(

d) cos (60 °) = \( \frac{1}{2} \)

\( \frac{1}{2} \) = \( \frac{3v1 + 4v2}{5} \)

=> v1 = \( \frac{5}{6} \) - \( \frac{4}{3} \) v2

=> | v | = \( \sqrt{v1² + v2²} \)

          = \( \sqrt{v2² + ( \frac{5}{6}  -  \frac{4}{3}  v2  )²} \)  = 1.

Komm nicht mehr weiter :(

Answer 1

Da hat jetzt keiner von den Kollegen die Länge 1

So weit würde ich gar nicht schauen. Die Tatsache, dass schon v1 nicht die Länge 1 hat genügt, dass es sich nicht um eine Orthonormalbasis handelt.

c) Gebe eine Menge von Vektoren an, welche des orthogonale Komplement des Untervektorsraums v = span (v1,v2) ⊂ ℝ³ aufspannen

{v3} spannt das orthogoanle Komplement von span (v1,v2) auf, weil v3 orthogonal zu jedem Vektor einer Basis von span (v1,v2) ist und die Dimension des orthogonalen Komplements dim(ℝ³) - dim(span (v1,v2)) = 3 - 2 = 1 sein muss.

\(\sqrt{v2^2 + ( \frac{5}{6}  -  \frac{4}{3}  v2  )^2} = 1\)

\(\begin{aligned} & & \sqrt{v_{2}^{2}+\left(\frac{5}{6}-\frac{4}{3}v_{2}\right)^{2}} & =1 & & |\,\square^{2}\\ & \implies & v_{2}^{2}+\left(\frac{5}{6}-\frac{4}{3}v_{2}\right)^{2} & =1 & & \text{ausmultiplizieren}\\ & \iff & v_{2}^{2}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}-2\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{4}{3}v_{2}+\left(\frac{4}{3}v_{2}\right)^{2} & =1 & & \text{zusammenfassen}\\ & \iff & \frac{25}{9}v_{2}^{2}-\frac{20}{9}v_{2}+\frac{61}{36} & =0 & & |\,\cdot\frac{9}{25}\\ & \iff & v_{2}^{2}-\frac{4}{5}v_{2}+\frac{61}{100} & =0\end{aligned}\)

Answer 2

Hallo

 a, b, richtig, sie bilden ein Orthogonalsystem aber kein orthonormales

 c) da ja v3 normal zu v1 und v2 ist ist er bzw. sein spann  das orthogonalkompliment zu dem UR aus v1 und v2.

d) es gilt <a,b>/(|a|*|b|)=cos(α) , mit α Winkel zwischen a und b

du musst also  nur (3,4) normieren und mit  Skalar mit (x,y)  multiplizieren  also 1/5*<(3,4),(x,y)>=1/2 alle Vielfache von x,y bilden dann auch 60° mit (3,4)

Gruß lul

Comments

vielen dank für eure Erklärungen. Kannst du mir sagen was x,y ist? Bin gerade etwas verwirrt bei der d). Ich verstehe die Erklärung nicht so ganz

Liebe Grüße

---

Ich hätte dann für x=-0,39 und y=0,92

Kann mir jemand sagen ob das stimmt?