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Aufgabe:

Sei f: ℝn -> ℝm eine injektive lineare Abbildung und seien die Vektoren x1, x2,...,xs ∈ ℝn linear unabhängig. Zeige, dass die Vektoren f (x1), f (x2), ..., f(xs) ∈ ℝm ebenfalls linear unabhängig sind.


Problem/Ansatz:

Die Vektoren x1, x2,...xs sind linear unabhängig. Da im Rn aber nur ein n-dimensionaler Raum aufgespannt werden kann, sind die Vektoren im Rm ebenfalls linear unabhängig und somit f(x1), f(x2),..f(xs) linear unabhängig. (Ok, das ist eigentlich nur die Aufgabenstellung umgeschrieben, um zu vertuschen, dass ich keinen guten Ansatz habe) :( Aber wenn das Urbild x unabhängig ist, dann muss doch auch das Bild f(x) unabhängig sein.

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Zeige, dass die Vektoren f (x1), f (x2), ..., f(xs) ∈ ℝm ebenfalls linear unabhängig sind.

Verwende die Definition und

betrachte dazu a1* f (x1) + a2* f (x2) + ...as* f(xs)  = 0

wegen der Linearität

<=>   f (   a1*  x1 + a2* x2 + ...as* xs)  = 0

wegen der Injektivität ( Es ist ja f(0)=0 )

 ==>       a1*  x1 + a2* x2 + ...as* xs = 0

und wegen der lin. Unabh. der xi also

x1=x20...=xs=0

==>    f (x1), f (x2), ..., f(xs)  linear unabhängig .  q.e.d.

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