Bestimmen der Lösungsmenge einer Ungleichung

Question

Zu bestimmen ist die Lösungsmenge folgender Ungleichung:


$$\frac { (x-2)+3(x+1) }{ x+3 } \le 0$$


ich bin mir bei dem ersten Schritt nicht sicher. Wenn es heißt ich soll die Lösungsmenge bestimmen, soll ich die Ungleichung dann quasi einfach auflösen? Oder soll ich nur für x einsetzen? Wie muss man hier vorgehen?

Answer 1

Da sollst du einfach nach x auflösen. Du kannst ja nicht alle Werte von R einsetzen und das prüfen

((x - 2) + 3·(x + 1))/(x + 3) ≤ 0

Ich hätte hier eine Fallunterscheidung des Nenners gemacht und dann mit dem Nenner multipliziert. Du solltest auf folgende Lösung kommen:

-3 < x ≤ - 1/4

Comments

Da nennst du gerade das passende Stichwort: Fallunterscheidung. Was genau kann ich mir darunter vorstellen? ist diese immer dann notwendig, wenn ich in einer Ungleichung mehr als 1 x habe?

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Du müsstest zum auflösen ja mit dem Nenner multiplizieren. Da muss man aufpassen. Multipliziert man mit einem negativen wert kehrt sich das Ungleichheitszeichen um

((x - 2) + 3·(x + 1))/(x + 3) ≤ 0
(4·x + 1)/(x + 3) ≤ 0

für x + 3 > 0 bzw. x > -3

4·x + 1 ≤ 0
x ≤ - 1/4

für x + 3 < 0 bzw. x < -3

4·x + 1 ≥ 0
x ≥ - 1/4   geht nicht weil x < -3

Die Lösung ist daher -3 < x ≤ - 1/4

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((x - 2) + 3·(x + 1))/(x + 3) ≤ 0
(4·x + 1)/(x + 3) ≤ 0


Ist klar soweit. Danach kann ich nicht mehr folgen.
Wir nehmen uns doch zuerst den Nenner vor: x+3

für x + 3 > 0 bzw. x > -3  Muss es hier nicht laut Aufgabe heißen: x+3 ≤ 0?

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Achtung wenn -2/x < 0 sein muss heißt das nicht das x < 0 sein muss. 

Ich habe (4·x + 1)/(x + 3) ≤ 0

Wenn wir jetzt mit dem Nenner multiplizieren haben wir zwei Möglichkeiten. Der Nenner ist positiv dann darf ich einfach mit dem Nenner multiplizieren. 2. Möglichkeit, der Nenner ist negativ. Dann darf ich zwar mit dem Nenner multiplizieren, muss aber das Ungleichheitszeichen umdrehen.