Wie finde ich die Nullstellen der 1. Ableitung?

Question

Aufgabe:

Die Funktion ist f(x)= 1/400 x^4 - 1/10 x^3 + x^2 + 20

Berechne den Hochpunkt

Ansatz: f'(x)=0

f'(x)= 1/25 x^3 - 3/10 x^2 + 2x

x( 1/25 x^2 - 3/10 x + 2) ⇒ x₁= 0

Problem:

Jetzt weiß ich aber nicht mehr wie ich die weiteren Nullstellen berechnen soll, da die pq Formel in dem Fall nicht angewendet werden kann (Die Zahlen unter der Wurzel ergeben etwas negatives)

Answer 1

deine Ableitung ist nicht korrekt.
\(\dfrac{d}{dx}\left [\dfrac{x^4}{400}-\dfrac{x^3}{10}+x^2+2x \right]=\dfrac{x^3}{100}-\dfrac{3x^2}{10}+2x=\dfrac{x}{100}\left( x^2-30x+200\right)\).
(Du hast x³/25 geschrieben).

Nach dem Satz vom Nullprodukt befindet sich eine Nullstelle bei \(\dfrac{x}{100}=0 \Longrightarrow x_1=0\)

Und nun musst du die beiden anderen Nullstellen finden: \(x^2-30x+200=0\)

Lösung:
[spoiler]

\(x_2=10 \\x_3=20\)

[/spoiler]

Answer 2

Das heißt einfach, dass Sie auch nur eine Nullstelle hat sprich nur bei x=0 einen Hochpunkt

Comments

Dachte ich eigentlich auch, aber der Graph dazu im Buch zeigt, dass der Tiefpunkt der Funktion bei 0 liegt. Der Hochpunkt liegt aufjedenfall bei 10, allerdings muss ich das rechnerisch zeigen.

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Dann hast du dich vielleicht bei der pq Formel vertan.

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Nein, die 1. Ableitung der Funktion besitzt drei reelle Nullstellen.

Answer 3

$$f(x)=\frac{1}{400}x^4-\frac{1}{10}x^3+x^2+20\\ f'(x)=\frac{1}{100}x^3-\frac{3}{10}x^2+2x\\ f''(x)=\frac{3}{100}x^2-\frac{3}{5}x+2\\ \frac{1}{100}x^3-\frac{3}{10}x^2+2x=0\\ x\cdot (\frac{1}{100}x^2-\frac{3}{10}x+2)=0\\ x=0 \text{ oder }\frac{1}{100}x^2-\frac{3}{10}x+2=0\\ \frac{1}{100}x^2-\frac{3}{10}x+2=0\\ x^2-30x+200 = 0\\ x_{2,3}=15 \pm \sqrt{ 225-200} \\ x_2=20\\x_3=10 $$

Gruß, Silvia