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Ziel ist es die folgenden komplexen Zahlen in der Form a+bi, mit a und reellen Zahlen, darzustellen.

$$\left. \begin{array} { l } { ( 1 + i ) ^ { n } + ( 1 - i ) ^ { n } } \\ { ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } i ) ^ { n } } \\ { \sum \limits _ { k = 0 } ^ { n } ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } i ) } \end{array} \right.$$

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2 Antworten

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möglicherweise ließe sich die Aufgabe wie folgt lösen.

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Sehr guter Tipp. Mit der Umformung werden die Aufgaben zum Kinderspiel.
Super, vielen Dank. So kann man die erste Aufgabe ja auch einfach lösen.

Nur wie mache ich das bei der Summe? Da wäre eine Fallunterscheidung ja nicht möglich.
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c) ist noch offen.

Die Umwandlung aus der andern Lösung

Heissen die Summanden a= cos(k*60) + i sin(k*60)

Das sind 6 Zeiger auf dem Einheitskreis, die zyklisch wiederholt werden.

Die Summe von jeweils 6 dieser Zeiger gibt aus Symmetriegründen 0.

Also ist für n=5,11,17,…(allg. 6m-1) die Summe 0

Du musst somit nur noch 5 Summen berechnen.

Für n=0, 6,12,…  6m ist die Summe 1

Für n=1,7,13,…         ist die Summe 1 + 1/2 + W3/2 i    = 1.5 + W3/2 i            |W3 steht für Wurzel aus 3

Für n=2,8,14,…          ist die Summe 1 + 1/2 + W3/2 i - 1/2 + W3/2 i = 1 + W3 i

Für n = 3,9,15,…          ist die Summe 1 + 1/2 + W3/2 i - 1/2 + W3/2 i -1 = W3 i

Für n= 4,10,16,…          ist die Summe 1 + 1/2 + W3/2 i - 1/2 + W3/2 i - 1 - 1/2 - W3/2 i = - 1/2 + W3/2 i

Probe

Für n= 5, 11, 17…              ist die Summe 1 + 1/2 + W3/2 i - 1/2 + W3/2 i - 1 - 1/2 - W3/2 i + 1/2 - W3/2 i = 0 ok.

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