Körperhöhe einer quadratischen Pyramide berechnen

Question

Aufgabe: Eine quadratische Pyramide hat die Grundkante a = 4 cm und die Seitenkante s = 6 cm sowie die Seitenhöhe

h_s  = 5,66 cm

Berechne die Körperhöhe.

Problem/Ansatz: Ich weiß nicht, wie die Körperhöhe berechnet wird.

Answer 1

Hallo Kristin,

(klick auf das Bild)

Oben habe ich Dir Grundfläche und Spitze \(S\) der Pyramide skizziert. Die Höhe \(h_S\) (blau) ist die Strecke \(|M_aS|\). Die gesuchte Höhe \(h\) (rot) ist die Strecke \(|MS|\). \(h\) ist gleichzeitig Kathete im rechtwinkligen Dreieck \(\triangle M_aMS\) (gelb). Dann gilt nach Pythagoras$$\begin{aligned} h^2 + \left( \frac a2 \right)^2 &= h_S^2 \\ \implies h &= \sqrt{h_S^2 -  \left( \frac a2 \right)^2} \\ &= 2\sqrt{7} \text{cm} \approx 5.29 \text{cm}\end{aligned}$$

Answer 2

(a/2)² + hs² = s² → hs = √(s² - (a/2)²) = √(6² - (4/2)²) = √32 = 5.657 cm

(a/2)² + h² = hs² → h = √(hs² - (a/2)²) = √(32 - (4/2)²) = √28 = 5.292 cm

Answer 3

\(h=\sqrt{h_s^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}\)