Zeigen das span(u,x,v,w) = span(u,v,w,x) usw.?

Question

Aufgabe:

Vektoren aus dem Vektorraum ℝ³

Gilt

a.) $$span(u,x,v,w) = span(u,v,w,x)?$$

b.) $$span(u,v,w,x) = span(2u,v,-2w,x)?$$

c.) $$span(u,v,w) = span(u,v,w,(0,0,0,0)^T)?$$

d.) $$span(u,v,w,x) = span(v,w,x)?$$

e.) $$span(u,v,w,x) = span(u,v,w)?$$

Problem/Ansatz:

a.) Ich weiß, dass man Vektoren vertauschen darf, da sich ja die Menge der Vektoren dadurch nicht ändert.

Aber ich wüsste nicht wie man das Formal zeigen/beweisen soll?

b.) Hier würde ich sagen, es ist nicht dasselbe. Es ist nur eine Teilmenge davon.

$$\alpha_1 \cdot u+\alpha_2 \cdot v+\alpha_3 \cdot w +\alpha_4 \cdot x =$$

$$=\frac{\alpha_1 }{2}\cdot 2u+\alpha_2 \cdot v-\frac{\alpha_3}{-2} \cdot 2w+\alpha_4 \cdot x =$$

$$\neq \alpha_1 \cdot 2u+\alpha_2 \cdot v-\alpha_3 \cdot 2w+\alpha_4 \cdot x$$

c.) Der Nullvektor ist eigentlich aus dem ℝ⁴  . Oder macht das nix, weil in der 4. Ebene nur eine null steht ?

Ich würde sagen, ja es stimmt, weil der Vektor ohnehin keine Information enthält, kann man ihn aber weglassen.

$$\alpha_1 \cdot u + \alpha_2 \cdot v + \alpha_3 \cdot w = \alpha_1 \cdot u + \alpha_2 \cdot v + \alpha_3 \cdot w + \alpha_4 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} =$$ 

$$=\alpha_1 \cdot u + \alpha_2 \cdot v + \alpha_3 \cdot w + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Weil:

$$\alpha_1 \cdot u + \alpha_2 \cdot v + \alpha_3 \cdot w = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \in span(u,v,w)$$

$$\alpha_1 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \alpha_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \alpha_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \forall \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \in K$$

d.) gleiche problem wie in a.)

e.) gleiche problem wie in a.)

Comments

LoL, du gehst auf meine Uni, in meinen Kurs Lin. Alg. :D

Answer 1

Hallo

4 Vektoren im R³ sind immer linear abhängig.

a) du hast recht, da die Summe a*v+.... ja vertauschbar ist.

b) ob da v oder 2 v oder -2v steht ist egal, natürlich sind die αi verschieden, aber man kann natürlich wieder alle Vektoren erzeugen, also dasselbe.

c) mit u ist ja auch 0*u im Spann, also richtig, aber deine Antwort nicht

der Rest ist allgemein falsch, weil man zwar nur maximal 3 braucht um den UR oder  ganz R³ zu erzeugen, aber man weiss ja nicht welche.

Gruß lul

Comments

c.) Versteh nich ganz warum meine Antwort falsch ist.

Soll ich dann das so zeigen:

$$\alpha \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} + \beta \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} + \gamma \cdot \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

$$0 \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Also $$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \in span(u,v,w)$$

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Hallo

 wenn da wirklich ein 0 Vektor aus R⁴ steht (ich dachte das sei ein Tipfehler ist auch c) falsch, denn da die anderen aus R³ sind, gehört ein Vektor aus R⁴ sicher nicht dazu, auch wenn er der Nullvektor ist.

Gruß lul

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Es kann sein das es ein Tippfehler ist.

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Hallo

 dann beantworte einfach die Frage doppelt a) 4 Nullen stimmt nicht: kein R4 Vektor in R3 , 3 Nullen stimmt , da die 0 des Raumes immer im Spann ist.

Gruß lul