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Sei A eine nxn Matrix mit Minimalpolynom µ(A) = a0+a1X+...+ak-1Xk-1+Xk

Nun soll ich zeigen, dass µ(A) = µ(AT)

Es ist

(An)T=(A*A*...*A)T=AT*AT*...*AT=(AT)n

Wie kann ich jetzt zeigen, dass das Minimalpolynom von A gleich dem Minimalpolynom von AT ist?

von

1 Antwort

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Ist μ das Minimalpolynom von A so gilt μ(A)=0

Gemäß

https://de.wikipedia.org/wiki/Minimalpolynom#Lineare_Algebra

musst du nur prüfen,

1. ob beim Einsetzen von A^T in das Polynom μ auch  μ(A^T) = 0 gilt.

2. ob es kein Polynom kleineren Grades gibt, bei dem das gilt.

zu 1: Wie du oben schon gezeigt hast ist für alle Exponenten k immer

(A^T)^k = (A^k)^T  außerdem ist auch bei den Einheitsmatrizen  (En)^T = En

Wenn also gilt

ao*En + a1*A + a2*A^2 + .. ad*A^d = 0

so gilt auch

ao*(En)^T + a1*A^T + a2*(A^2)^T + .. ad*(A^d)^T = 0

Denn es werden ja alle Summanden transponiert also

werden immer die Matrixelemente addiert, deren Summe 0 ergibt.

zu 2: Gäbe es für A^T ein Polynom kleineren Grades, das diese

Bedingung erfüllt, so würde das mit dem gleichen Argument auch

beim Einsetzen von A die Nullmatrix ergeben.

Also sind 1 und 2 erfüllt und damit ist  µ(A) = µ(A^T)

von 172 k

Nun soll ich noch weiter machen. Sei B =T-1AT. Dann gilt Bm=T-1AmT für alle m und auch μAB .

Bm gilt doch weil T*T-1 = I und weil T und A invertierbar sind oder?

oder wie zeige ich das?

B =T^(-1)AT

==>  B^2 = T^(-1)AT * T^(-1)AT wegen assoziativ:

               = T^(-1)A(T * T^(-1))AT

                 = T^(-1)A*E*AT

                   = T^(-1)A*AT

                    = T^(-1)*A^2*T

Ganz ordentlich mit vollst. Induktion über m.

Invertierbarkeit von A wird dafür nicht gebraucht.

Ah ok danke. Das Minimalpolynom ist dann gleich, weil

μA(B)=μA(T-1AT)=μA(T-1A(A)μA(T)=μA(T-1)*0*μA(T)= 0

Somit ist B ein Teiler von mA und da B auch ein Teiler von mB ist gilt

μAB

Oder ist mein Kommentar falsch?

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