Integral von Bruch, Produktregel ??

Question

Aufgabe: Ich weiß nicht, ob es für das Integral auch eine Produktregel braucht (wie beim Ableiten)

Ich brauche das Integral von

8 * x / (x^2+3)  - 2

Ist das 8*x ln (x^2+3) * 1/2 - 2*x

ich habe hier das vordere 8*x einfach nur als Faktor angenommen.

Vielen Dank im Voraus

Uli

Problem/Ansatz:

Answer 1

Das Äquivalent zur Produktregel wäre die Produktintegration. Die brauchst du hier aber nicht.

\(\displaystyle\int \dfrac{8x}{x^2+3} \, dx=8\displaystyle\int \dfrac{x}{x^2+3}\, dx=8\displaystyle\int x\dfrac{1}{x^2+3}\, dx\). Wenn du jetzt \(u=x^2+3\) substituierst, erhältst du \(du=2x\, dx \Leftrightarrow dx=\dfrac{du}{2x}\) und somit das Standardintegral \(\displaystyle\int\dfrac{1}{u}\, du=\ln(u)+C\).

Nach Vereinfachen und der Rücksubstitution lautet die Stammfunktion \(4\ln(x^2+3)+C\).

Die Integration von -2 sollte trivial sein.

Comments

Vielen Dank, dass Du so spät noch am PC sitzt.

Hat mir sehr geholfen.

Liebe Grüße

Uli

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Ich verstehe aber deinen Gedankengang.

\(8\displaystyle\int x\dfrac{1}{x^2+3}\, dx\) mit \( u'=\dfrac{1}{x^2+3},\: v=x \rightarrow v'=1\)

Nur wenn du \(u'\) integrieren möchtest, kommt dort \(u=\dfrac{\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)}{\sqrt{3}}\) heraus. Somit vereinfacht die Produktintegration dein Integral nicht wirklich.